Линейная алгебра

В этом разделе мы представляем важные классы пространств, в которых будут жить наши данные и наши операции.

будут иметь место: векторные пространства, метрические пространства, нормированные пространства и пространства скалярных произведений. В целом

говоря, они определены таким образом, чтобы отразить одно или несколько важных свойств евклидовых

пространстве, но в более общем виде.

3.1 Векторные пространства

Векторные пространства - это базовая среда, в которой происходит линейная алгебра. Векторное пространство V — это множество (т.

элементы которых называются векторами), над которыми определены две операции: можно складывать векторы

вместе, и векторы можно умножать на вещественные числа1, называемые скалярами. V должен удовлетворять

(i) Существует аддитивная единица (обозначенная 0) в V такая, что x + 0 = x для всех x ∈ V

(ii) Для каждого x 2 V существует аддитивное обратное (обозначаемое как π) такое, что x + (x) = 0

(iii) Существует мультипликативная единица (обозначенная 1) в R такая, что 1x = x для всех x ∈ V

(iv) Коммутативность: x + y = y + x для всех x; у 2 В

(v) Ассоциативность: (x + y) + z = x + (y + z) и (x) = ( )x для всех x; у; z 2 В и ; 2 Р

(vi) Дистрибутивность: (x + y) = x + y и ( + )x = x + x для всех x; у 2 В и ; 2 Р

Набор векторов v1; : : : ; vn 2 V называется линейно независимым, если

1v1 + + nvn = 0 влечет 1 = = n = 0:

Размах v1; : : : ; vn 2 V — множество всех векторов, которые могут быть выражены линейной комбинацией

их:

спанфв1; : : : ; vng = fv 2 В : 9 1; : : : ; n такое, что 1v1 + + nvn = vg

Если набор векторов линейно независим и его размах равен всему V , говорят, что эти векторы

быть основой для V . На самом деле, каждый линейно независимый набор векторов образует основу для своего промежутка.

Если векторное пространство состоит из конечного числа векторов, оно называется конечномерным.

В противном случае оно конечномерно. Количество векторов в базисе для конечномерного

векторное пространство V называется размерностью V и обозначается dim V .

3.1.1 Евклидово пространство

Квинтэссенцией векторного пространства является евклидово пространство, которое мы обозначаем Rn. Векторы в этом пространстве

состоят из n-кортежей действительных чисел:

x = (x1; x2; : : : ; xn)

Для наших целей будет полезно думать о них как о n 1 матрицах или векторах-столбцах:

Сложение и скалярное умножение определяются покомпонентно на векторах в Rn:

Евклидово пространство используется для математического представления физического пространства с такими понятиями, как расстояние,

длина и углы. Хотя это становится трудно визуализировать для n > 3, эти концепции обобщают

математически очевидным образом. Даже когда вы работаете с более общими настройками, чем Rn,

часто полезно визуализировать сложение векторов и скалярное умножение с точки зрения двумерных векторов на плоскости.

или 3D-векторов в пространстве.

3.1.2 Подпространства

Векторные пространства могут содержать другие векторные пространства. Если V — векторное пространство, то S V называется векторным пространством.

подпространство V, если

(i) 0 2 S

(ii) S замкнут относительно сложения: x; y 2 S влечет за собой x + y 2 S

(iii) S замкнут относительно скалярного умножения: x 2 S; 2 R подразумевает x 2 S

Обратите внимание, что V всегда является подпространством V , как и тривиальное векторное пространство, содержащее только 0.

В качестве конкретного примера, линия, проходящая через начало координат, является подпространством евклидова пространства.

Если U и W подпространства в V , то их сумма определяется как

U +W = fu + w j u 2 U;w 2 Wg

Несложно проверить, что это множество также является подпространством V . Если U \W = f0g, то говорят, что сумма

быть прямой суммой и записывается U W . Каждый вектор в U W может быть однозначно записан как u + w

для некоторых u 2 U и w 2 W. (Это одновременно необходимое и достаточное условие для прямой суммы.)

Размерности сумм подпространств подчиняются дружественному соотношению (доказательство см. в [4]):

dim(U +W) = dimU + dimW  dim(U \W)

Это следует из того

тусклый(UW) = тусклыйU + тусклыйW

так как dim(U \W) = dim(f0g) = 0, если сумма прямая.

3.2 Линейные карты

Линейная карта — это функция T : V ! W, где V и W — векторные пространства, удовлетворяющие

(i) T(x + y) = Tx + Ty для всех x; у 2 В

(ii) T( x) = Tx для всех x 2 V; 2 Р

Стандартное соглашение об обозначениях для линейных карт (которому мы следуем здесь) состоит в том, чтобы отбрасывать ненужные символы.

круглые скобки, записывая Tx, а не T(x), если нет риска двусмысленности, и обозначают композицию

линейных карт с помощью ST, а не обычного ST.

Линейное отображение из V в себя называется линейным оператором.

Заметьте, что определение линейной карты подходит для

изменить структуру векторных пространств, так как она

сохраняет две основные операции векторных пространств, сложение и скалярное умножение. С алгебраической точки зрения,

линейное отображение называется гомоморфизмом векторных пространств. Обратимый гомоморфизм (где

inverse также является гомоморфизмом) называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм из V

W, то говорят, что V и W изоморфны, и мы пишем V = W. Изоморфные векторные пространства

по существу «одинаковы» с точки зрения их алгебраической структуры. Интересен тот факт, что конечномерное

векторные пространства2 одной и той же размерности всегда изоморфны; если V;W - действительный вектор

пространств с dim V = dimW = n, то имеет место естественный изоморфизм

‘ : V ! W

1х1+нвн+7! 1w1 + + nwn

где v1; : : : ; вн и ш1; : : : ;wn — любые базы для V и W. Это отображение корректно определено, так как все

вектор в V может быть однозначно выражен как линейная комбинация v1; : : : ; вн. Это просто

чтобы убедиться, что ‘ является изоморфизмом, поэтому на самом деле V = W. В частности, каждый действительный n-мерный вектор

пространство изоморфно Rn.

3.2.1 Матрица линейной карты

Векторные пространства довольно абстрактны. Чтобы представлять и управлять векторами и линейными картами на компьютере,

мы используем прямоугольные массивы чисел, известные как матрицы.

Предположим, что V и W — конечномерные векторные пространства с базой v1; : : : ; вн и ш1; : : : ;wm соответственно,

и Т: В! W — линейная карта. Тогда матрица T с элементами Aij, где i = 1; : : : ;м,

j = 1; : : : ; n, определяется

Tvj = A1jw1 + + Amjwm

То есть j-й столбец A состоит из координат Tvj в выбранном базисе для W.

Обратно, каждая матрица A 2 Rmn индуцирует линейное отображение T : Rn ! Rm, заданный

Tx = Ax

и матрица этого отображения относительно стандартных базисов Rn и Rm, конечно, просто A.

Если A 2 Rmn, его транспонирование A› 2 Rnm определяется формулой (A›)ij = Aji для каждого (i; j). Другими словами,

столбцы A становятся строками A›, а строки A становятся столбцами A›.

Транспонирование имеет несколько замечательных алгебраических свойств, которые легко проверить из определения: