これで論文表現を学ぶ
Обсудив дифференциацию сложных отображений в предыдущих заметках, мы теперь обратимся к интеграции сложных отображений. Сначала мы кратко рассмотрим ситуацию интегрирования (достаточно регулярных) вещественных функций
одной переменной. На самом деле в этом контексте возникают три тесно связанные концепции интеграции:
- , который обычно интерпретируется как интеграл Римана (или, что то же самое, интеграл Дарбу), который можно определить как предел (если он существует) сумм Римана
- где
- является неким разделом
- ,
- является элементом интервала
- , а за предел принимается максимальный размер сетки
- уходит в ноль. Удобно принять соглашение, что
- за
- ; альтернативно можно интерпретировать
- как предел сумм Римана (1), где теперь (обратное) разбиение
- идет влево от
- to
- , а не вправо от
- to
- .
- (ii) определенный интеграл без знака
- , обычно интерпретируемый как интеграл Лебега. Точное определение этого интеграла немного сложно (см., например, этот предыдущий пост), но, грубо говоря, идея состоит в том, чтобы аппроксимировать
- простыми функциями
- для некоторых коэффициентов
- и наборы
- , а затем аппроксимировать интеграл
- по количеству
- , где
- является мерой Лебега
- . В отличие от знаково-определенного интеграла, на лежащую в основе область интегрирования не накладывается и не используется ориентация, которая рассматривается как «ненаправленное» множество.
- .
- (iii) неопределенный интеграл или первообразная
- , определяемая как любая функция
- чья производная
- существует и равен
- on
- . Известно, что первообразная определяется только с точностью до добавления произвольной константы
- , таким образом, например
- .
Существуют некоторые другие варианты вышеупомянутых интегралов (например, интеграл Хенстока-Курцвейла, обсуждаемый, например, в этом предыдущем посте), которые могут обрабатывать немного другие классы функций и имеют немного другие свойства, чем стандартные интегралы, перечисленные здесь, но нам не нужно будет обсуждать такие альтернативные интегралы в этом курсе (за исключением некоторых несобственных и главных интегралов, с которыми мы столкнемся в последующих заметках).
Вышеупомянутые три понятия интеграции тесно связаны друг с другом. Например, если
является интегрируемой по Риману функцией, то определенный интеграл со знаком и определенный интеграл без знака совпадают (при правильной ориентации первого), таким образом
и
If
непрерывна, то по основной теореме исчисления она имеет первообразную
, который корректно определен с точностью до аддитивной константы
, и
для любого
, таким образом, например
и
.
Все три вышеуказанные концепции интегрирования имеют аналоги в комплексном анализе. Безусловно, наиболее важным понятием будет комплексный аналог знакового определенного интеграла, а именно контурный интеграл.
, в котором направленный отрезок из одного действительного числа
другому
теперь заменен типом кривой на комплексной плоскости, известной как контур. Контурный интеграл можно рассматривать как частный случай более общего линейного интеграла.
, что имеет особое значение в комплексном анализе. Существуют также аналоги интеграла Лебега, а именно интегралы меры длины дуги
и интегралы площади
, но они играют лишь вспомогательную роль в предмете. Наконец, у нас осталось понятие первообразной
(также известный как примитив) сложной функции
.
Как оказалось, фундаментальная теорема исчисления по-прежнему верна в комплексной плоскости: при подходящих предположениях о регулярности комплексной функции
и примитивный
этой функции
とりあえずここまで。
