Неквадратные матрицы как преобразования между измерениями — 3Blue1Brown
Неквадратные матрицы
К настоящему времени мы знаем, что матрица 2 x 2 в координатной плоскости xy действует как линейное преобразование, регулируя положение приземления базисных векторов i-hat и j-hat. Каждое число указывает положение i-hat и j-hat.
Но как нам интерпретировать такие матрицы, как матрица 3 x 2? Как матрица 3 x 2 преобразует систему?
Основной процесс тот же. Нам просто нужно переместить i-hat и j-hat в указанную точку приземления.
Давайте посмотрим на это на примере.
Когда мы видим матрицу 3 x 2, поскольку два столбца указывают на то, что входное пространство имеет два базисных вектора, исходное состояние будет таким.
Теперь мы двигаем i-hat и j-hat.
Если мы увидим результат, система трансформируется в 3d. Хотя система является трехмерной, пространство столбцов равно 2d, и после преобразования оно имеет полный ранг, поскольку входное измерение (2 столбца) и измерение пространства столбца (плоскость 2d) одинаковы.
В результате матрица 3 x 2 отображает двумерное пространство в трехмерное, но имеет полный ранг.
Давайте посмотрим на другой пример. На этот раз это матрица 1 x n. Это означает, что мы отображаем n-мерное пространство в линию (есть n базисных векторов, но пространство столбцов вывода равно 1d).
Итак, если мы сделаем это преобразование для определенного вектора, пространство столбцов будет иметь ранг 1.
