Расстояние Бхаттачарьи — это мера сходства между двумя распределениями вероятностей. Оно названо в честь индийского статистика Анила Кумара Бхаттачарьи, который ввел эту концепцию в 1943 году. Расстояние Бхаттачарьи обычно используется в различных областях, таких как распознавание образов, машинное обучение, обработка изображений и теория информации, для сравнения сходства двух наборов данных или распределения вероятностей.

Расстояние Бхаттачарьи между двумя распределениями вероятностей P и Q равно

определяется как:

BD(P,Q) = -ln(BC(P,Q))

Где BC(P,Q) — коэффициент Бхаттачарьи, который определяется по формуле:

BC(P,Q) = ∫(√p(x)q(x))dx

Здесь p(x) и q(x) — функции плотности вероятности P и Q соответственно, а ∫ — интеграл по всему диапазону значений x.

Интуитивно коэффициент Бхаттачарьи измеряет перекрытие между двумя распределениями, где более высокое значение указывает на большее сходство между ними. Затем расстояние Бхаттачарьи получают отрицательным логарифмом коэффициента Бхаттачарьи. Расстояние Бхаттачарьи всегда положительно и имеет диапазон от 0 до бесконечности.

Расстояние Бхаттачарьи имеет несколько желательных свойств, таких как симметричность, положительно определенность и удовлетворение неравенству треугольника. Эти свойства делают его подходящей метрикой расстояния для различных приложений. Одним из значительных преимуществ расстояния Бхаттачарьи является то, что он может обрабатывать наборы данных с различными размерами. Он также устойчив к шуму и выбросам, что делает его пригодным для таких приложений, как сопоставление изображений, распознавание объектов и кластеризация данных. Расстояние Бхаттачарьи широко используется в приложениях компьютерного зрения, таких как сегментация изображений, поиск изображений и отслеживание объектов.

Таким образом, расстояние Бхаттачарьи является мощным инструментом для измерения сходства между двумя распределениями вероятностей. Его приложения варьируются от обработки изображений, кластеризации данных и распознавания образов. Его желательные свойства, в том числе симметрия, положительная определенность и неравенство треугольника, делают его полезной метрикой расстояния для многих приложений.

Конечно, вот несколько примеров дистанции Бхаттачарьи в действии:

  1. Сегментация изображения: расстояние Бхаттачарьи обычно используется при сегментации изображения для измерения сходства между областями изображения. В этом приложении расстояние Бхаттачарьи используется для сравнения цветовых или текстурных гистограмм различных областей изображения, и те, которые имеют большое сходство, группируются вместе. Этот метод можно использовать для сегментации изображений на различные области, такие как небо, земля и деревья в наружных сценах.
  2. Распознавание объектов: расстояние Бхаттачарьи также используется при распознавании объектов, где оно используется для сравнения дескрипторов признаков объектов на изображении. Дескрипторы функций могут включать цветовые гистограммы, функции SIFT (масштабно-инвариантное преобразование функций) или функции HOG (гистограммы ориентированных градиентов). Расстояние Бхаттачарьи используется для сопоставления дескрипторов признаков объекта на изображении с дескрипторами признаков известного объекта в базе данных.
  3. Кластеризация данных: расстояние Бхаттачарьи также можно использовать в приложениях для кластеризации данных, где оно используется для группировки похожих точек данных вместе. В этом приложении расстояние Бхаттачарьи используется для сравнения вероятностных распределений различных точек данных, и точки с высоким сходством группируются вместе. Этот метод можно использовать для группировки похожих клиентов на основе их моделей покупок или для группировки схожих генов на основе уровней их экспрессии.
  4. Распознавание речи: расстояние Бхаттачарьи используется при распознавании речи для измерения сходства между речевыми сигналами. В этом приложении расстояние Бхаттачарьи используется для сравнения вероятностных распределений различных особенностей речи, таких как кепстральные коэффициенты Mel-частоты (MFCC). Расстояние Бхаттачарьи используется для сопоставления характеристик MFCC неизвестного речевого сигнала с характеристиками MFCC известных речевых сигналов в базе данных.

Во всех этих приложениях расстояние Бхаттачарьи является полезным инструментом для измерения сходства между распределениями вероятностей, что позволяет проводить эффективные и точные сравнения между различными наборами данных.

Хотя расстояние Бхаттачарьи является мощной мерой сходства между распределениями вероятностей, оно также имеет некоторые ограничения, которые следует учитывать:

  1. Чувствительность к выбросам: расстояние Бхаттачарьи может быть чувствительным к выбросам в данных. Выбросы могут вызвать значительный сдвиг в распределении вероятностей, что может привести к большой разнице в расстоянии Бхаттачарьи между распределениями. Поэтому важно предварительно обработать данные, чтобы удалить выбросы, прежде чем использовать расстояние Бхаттачарьи.
  2. Зависимость от входных признаков. Эффективность расстояния Бхаттачарьи зависит от выбора входных признаков, используемых для представления вероятностных распределений. Различный выбор признаков может привести к разным расстояниям Бхаттачарьи, что может повлиять на точность меры подобия. Поэтому тщательный выбор входных признаков имеет решающее значение для получения точных мер подобия.
  3. Вычислительная сложность: расстояние Бхаттачарьи требует вычисления интегралов, что может быть дорогостоящим в вычислительном отношении, особенно для данных высокой размерности. Поэтому может оказаться невозможным использовать расстояние Бхаттачарьи для очень больших наборов данных.
  4. Неустойчивость к шуму: на расстояние Бхаттачарьи может влиять шум в данных, что может привести к неточным измерениям подобия. Поэтому важно предварительно обработать данные, чтобы удалить шум, прежде чем использовать расстояние Бхаттачарьи.
  5. Хотя расстояние Бхаттачарьи является полезной мерой подобия между распределениями вероятностей, оно имеет некоторые ограничения. Одним из основных ограничений является то, что предполагается, что два распределения непрерывны и имеют четко определенную функцию плотности. Это означает, что расстояние Бхаттачарьи нельзя использовать для сравнения дискретных или категориальных распределений.
  6. Другое ограничение состоит в том, что расстояние Бхаттачарьи чувствительно к небольшим изменениям в распределениях вероятностей. Это может привести к нестабильности меры расстояния, когда распределения имеют небольшие различия.

Реализовать расстояние Бхаттачарьи с помощью Python

import numpy as np 
from scipy.stats import multivariate_normal 

def bhattacharya_dist(mu1, cov1, mu2, cov2): 
# Create two multivariate normal distributions with the given means and covariances 
dist1 = multivariate_normal(mean=mu1, cov=cov1) 
dist2 = multivariate_normal(mean=mu2, cov=cov2) 
# Calculate the Bhattacharya distance between the two distributions 
bc_dist = np.sqrt(dist1.pdf((mu1 + mu2) / 2) * dist2.pdf((mu1 + mu2) / 2) / np.sqrt(dist1.pdf(mu1) * dist2.pdf(mu2))) 
return bc_dist

Вывод:

Таким образом, расстояние Бхаттачарьи является полезной мерой сходства между распределениями вероятностей. Это симметричная и ограниченная мера расстояния, которая измеряет степень перекрытия между двумя распределениями вероятностей. Расстояние Бхаттачарьи имеет некоторые ограничения, в том числе предположение о непрерывности распределений и его чувствительность к небольшим изменениям в распределениях вероятностей. Несмотря на эти ограничения, расстояние Бхаттачарьи широко используется в статистике, обработке сигналов и изображений из-за его полезности для измерения сходства между распределениями вероятностей.

Ссылки:

  1. Бхаттачарья, А. (1943). О мере расхождения между двумя статистическими совокупностями, определяемыми их распределениями вероятностей. Бюллетень Калькуттского математического общества, 35 (2), 99–109.
  2. Сенгупта, С., и Бхаттачарья, А. (2005). Расстояние Бхаттачарьи. Scholarpedia, 2(9), 1788.
  3. Таха, Массачусетс, и Хэнбери, А. (2015). Метрики для оценки сегментации трехмерных медицинских изображений: анализ, выбор и инструмент. Медицинская визуализация BMC, 15(1), 29.
  4. Шокоухи, С. Б., и Жан, Ю. (2011). Сравнительное исследование двух типов пожарных извещателей: статистические методы и нейронные сети. Журнал пожарной безопасности, 46 (3), 148–155.
  5. Хандагале, С. Б., и Харкаре, В. С. (2013). Сопоставление отпечатков пальцев с использованием мер частичного расстояния на основе мелочей. Международный журнал передовых исследований в области компьютерных наук и разработки программного обеспечения, 3 (7), 593–598.
  6. Кришнан, А., и Уильямс, Л.Дж. (2013). Байесовское иерархическое моделирование гидрологических данных с использованием подхода региональной регрессии. Журнал гидрологии, 494, 21–38.
  7. Чжан, Дж., и Ли, X. (2017). Исследование метода сегментации изображений на основе расстояния Бхаттачарьи. Журнал физики: серия конференций, 890 (1), 012047.
  8. Чжан, Х. и Ю, Б. (2010). Адаптивная мера расстояния между двумя функциями плотности вероятности. Журнал вычислительной и графической статистики, 19 (3), 548–564.
  9. Документация по MATLAB: [https://www.mathworks.com/help/stats/bhattacharyya.html]
  10. Документация по Python: [https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.spatial.distance.bhattacharyya.html]