Я разрабатываю алгоритм, который решает Ax = b, где известны A и b.
Есть два способа сделать это x= A-1 b или с помощью Холецкого. Я знаю, что матрица всегда будет квадратной и положительно определенной, хотя det(A) может быть равен нулю. В тех редких случаях я могу просто игнорировать это. Но с точки зрения вычислений и эффективности, не слишком ли неэффективно создание обратной матрицы?
В общем, вы всегда хотите использовать решатель; фактический решатель должен работать примерно так же быстро, как умножение на инверсию. Мало того, что вычисление обратной матрицы неэффективно по сравнению с выполнением декомпозиции, использование обратной матрицы имеет проблемы с точностью, которых позволяет избежать подход декомпозиции/решателя.
Если у вас симметричная матрица, разумным выбором будет разложение Холецкого. Тесно связанное разложение LDL имеет сравнимую точность, но при этом не требует квадратных корней.
Если ваша матрица несимметрична, вы не можете использовать разложение Холецкого или LDL — используйте разложение LU метод вместо этого.
Для больших матриц да, обратное очень неэффективно. Однако специальные свойства, такие как нижнетреугольная матрица, значительно упрощают вычисление обратной.
В численном анализе наиболее типичным решением для Ax=b является LU-факторизация A(LUx=b), затем решение Ly = b для y и Ux = y для x.
Для более стабильного подхода рассмотрите возможность использования разложения QR, где Q обладает особым свойством Q ^ T * Q = I, поэтому Rx = Q ^ Tb, где R является верхним треугольником (только одно обратное решение, в отличие от прямого и обратного решения с ЛУ).
Другие специальные свойства, такие как симметричность матрицы (Холецкого) или полосчатость (Гаусса), делают одни решатели лучше других.
Как всегда, помните о с плавающей запятой ошибки в расчетах.
Могу ли я добавить, что итерационные решатели также являются популярным способом решения систем. Метод сопряженного градиента является наиболее часто используемым и хорошо работает для разреженных матриц. Якоби и Гаусс-Зейдель хороши для матриц, которые являются диагонально доминирующими и разреженными.
