Как опубликовать JSON в приложении Google Chrome?

Это объект XMLHttpRequest, такой же, как и в AJAX. Ознакомьтесь со ссылкой на запрос XMLHttpRequest с перекрестным происхождением.

Вот пример с w3c.org:

function log(message) {
  var client = new XMLHttpRequest();
  client.onreadystatechange = function() {
    // in case of network errors this might not give reliable results
    if(this.readyState == this.DONE)
      console.log("log entry sent with status: " + this.status);
  }
  client.open("POST", chrome.extension.getURL("/log"), true);
  client.setRequestHeader("Content-Type", "text/plain;charset=UTF-8");
  client.send(message);
}