Как мы можем выполнить команду оболочки из расширения Chrome; есть ли способ?

Нет. Такая возможность была бы очень страшной. Вас может заинтересовать Native Messaging API, но вам потребуется распространять собственный установщик приложения, который обычно требует прав администратора. Ваш другой вопрос предполагает, что подход не будет работать для вашего варианта использования.

Есть более простой способ, если у вас есть работающий локальный сервер. Локальный сервер может выполнить команду. Вызовите конечную точку с помощью fetch. Вот пример:

chrome.contextMenus.create({
        title: "Open in Safari",
        contexts: ["all"],
        onclick: info => {
            const u = 'http://localhost:3012/to-safari?url=info.pageUrl;
            fetch(u).then(result => console.info(result)).catch(err => console.error(err));
        }
    });

Я сделал это, чтобы открыть текущий URL-адрес (в Chrome) в Safari. Конечно, ваш сервер может выполнить любую команду.

Кстати, никаких специальных разрешений в манифесте не требуется.