Как сделать запрос с помощью точки (.) через Mongoose в Node.js и как добавить пустой массив

Здесь есть ряд проблем, с которыми вы, вероятно, столкнетесь.

Во-первых, team — это свойство массива, но вы присваиваете ему объект. Вам нужно сделать что-то вроде этого:

var user = new users({
    userID: id, //give the id of the next user in Dbase
    userName: userName, 
    userEmail: 'userEmail',
    teams:[],
    socialMedias: [{socialMediaType: socialMediaID}]
});

Во-вторых, если socialMediaType передается как параметр функции, вы не можете использовать его так, как делаете. Вам нужно сделать что-то вроде этого:

var socialMedias = {};
socialMedias[socialMediaType] = socialMediaID;
var user = new users({
    userID: id, //give the id of the next user in Dbase
    userName: userName, 
    userEmail: 'userEmail',
    teams:[],
    socialMedias: [socialMedias]
});

В-третьих, ваш findOne не будет работать как есть. Из того, что я могу понять о вашем намерении здесь, вам нужно что-то вроде этого:

function searchUser(socialMediaID, socialMediaType){
    var user
    var query = {};
    query["socialMedias."+socialMediaType] = socialMediaID;

    users.findOne(query, function(err, userFound){

        if(err) return handleError(err);
        user = userFound; 
    });

    //what does  MongoDb return if it does not find the document?

    return user;
}

Но в-четвертых, даже это не сработает, потому что вы синхронно возвращаете пользователя из метода, который выполняет асинхронную операцию. Есть разные способы решить эту проблему, но вы можете начать с чтения промисов или передачи функции обратного вызова в searchUser.