Обычно мы используем импликацию с универсальным квантором.
Вы заметили закономерность, но это не правило, т.е.
There is always somebody worse off than yourself.
который ваш учебник формализует как:
∀t ∃x x is a person ∧ x is worse of than yourself at t
В подобном случае беспокоящая вас конъюнкция обусловлена именно тем фактом, что подразумеваемая Вселенная дискурса (диапазон переменных) является всеобъемлющей — это буквально «все» — поэтому мы обязаны заявить, что x является человеком, а также хуже вас. В естественном языке UoD почти всегда ограничивается контекстом речи или явным ограничением местоимений, например somebody. В этом случае было бы более естественно ограничить UoD до людей и формализовать просто так:
∀t ∃p p is worse of than yourself at t
Разве это не неправильно?
Вы имеете в виду:
∃ y ∀ t Person(y) ∧ Fools(x, y, t)
Да, это неправильно. Это говорит:
There is something y such that, at any time t, y is a person and y is
fooled by x at t.
Но когда мы говорим, что политик может дурачить часть людей все время, а весь народ некоторое время, мы на самом деле не имеем в виду, что существует какой-то конкретный человек, которого наш политик постоянно дурачит. Ясно, что мы даже не имеем в виду, что существует какой-то конкретный дурак, чья жизнь охватывает всю политическую жизнь любого данного политика, и искусственный интеллект, который сделал бы такой вывод, был бы провалом. На самом деле мы имеем в виду, что все время есть люди, которых наш политик одурачивает, а иногда наш политик одурачивает всех. Это:
∀ t ∃ y Person(y) ∧ Fools(x, y, t)
и:
∃ t ∀ y Person(y) ⇒ Fools(x, y, t)
В этом примере важно отметить, что для интеллектуальной формализации утверждения или аргумента, выраженного на естественном языке, вам необходимо формализовать то, что оно означает в своем контексте, а не просто «как оно выглядит». x все время обманывает некоторых людей выглядит как версия из вашего учебника:
∃ y ∀ t Person(y) ∧ Fools(x, y, t)
потому что «некоторые» упоминаются перед «всеми». Но естественные языки оценивают точность количественной оценки очень низко, и основная масса владеющих английским языком не думает, что эта пословица означает то, что написано в учебнике. (Я уверен, что даже авторы книги согласились бы, если бы она была доведена до их сведения.)
Так что вы правы, беспокоясь о упорядочении экзистенциальных и всеобщих кванторов.
∀ y ∃ x F(x,y)
говорит:
For anything y, there is something x such that F(x,y)
и:
∃ x ∀ y F(x,y)
говорит:
There is something x such that, for anything y, F(x,y)
и они обычно не взаимозаменяемы. Сравните (с UoD = люди):
Everyone has a mother
∀ x ∃ y Mother(y,x)
и
∃ y ∀ x Mother(y,x)
Someone is the mother of everyone.
person
Mike Kinghan
schedule
29.10.2015
