Что это за метод перехода раскадровки? push, модальный или popover?

Это переход Present Modally, представленный как Form Sheet. См. вложение ниже

Чтобы всплывающее меню отображалось после выполнения действия, у вас есть несколько вариантов сделать это. Я думаю, что самый простой способ — зайти на Cocopods.org и найти фреймворк, который сделает это за вас, используя несколько строк кода. Зайдите на Cocopods.org и введите «Menu» или «Pop» в строку поиска, и он найдет лучшие фреймворки для этого. Надеюсь, поможет.

Один быстрый и простой способ сделать это — разместить всплывающее представление в отдельном файле .xib, а затем загрузить его в контроллер представления, где вы хотите, чтобы отображалось всплывающее представление.

Вот что вам нужно сделать.

1) Создайте макет всплывающего окна, щелкнув правой кнопкой мыши проект->добавить новый файл->Пользовательский интерфейс->Просмотр. Не забудьте включить в макет черный фон с непрозрачностью 50%.

2) Просто загрузите его в контроллер представления, где вы хотите, чтобы он отображался. Я предполагаю, что вы хотите, чтобы он отображался по нажатию кнопки, поэтому вы можете сделать это следующим образом:

UIView *popupView;

 - (IBAction)showPopupView
{
    popupView = [[[NSBundle mainBundle] loadNibNamed:@"PopupView" owner:self options:nil] objectAtIndex:0];
    [self.view addSubview:popupView];
}

- (IBAction)hidePopupView
{
    [popupView removeFromSuperView];
}