Запуск .NET Core с другими платформами .NET Framework и Mono Framework

Я только что где-то читал, что это похоже на опцию «импорт» в разделе «frameworks» в файле «project.json», позволяющую вашему приложению использовать другие .NET Framework, установленные на вашем компьютере, в качестве запасного варианта, если ваши библиотеки еще не поддерживаются в .NET Основной.

Нет. "imports" позволяет вашему проекту использовать библиотеки, которые напрямую не поддерживают netstandard пока. На практике это будет работать только в том случае, если библиотека уже использует только поверхность, открытую netstandard, которая включает библиотеки .Net Core RC1 (dnxcore50) и библиотеки, использующие некоторые переносимые профили.

смогу ли я использовать такие библиотеки, как GTK#, через .NET 4.x с моим проектом .NET Core?

Вы можете использовать CLI project.json/dotnet/.Net Core для написания приложения .Net Framework 4.x (используя, например, "net451" внутри "frameworks"), но результатом будет приложение .Net Framework, а не приложение .Net Core. Это в основном полезно, когда вы пишете библиотеку и хотите иметь версию для .Net Core/netstandard и другую версию для .Net Framework.

И как заставить мое приложение работать с Mono Framework в системе, отличной от MS Windows?

Если вы пишете приложение .Net Core, вам не нужен моно. Если вы пишете приложение .Net Framework с помощью .Net Core CLI, то mono не поддерживается, он может работать, а может и не работать. Если вы пишете приложение .Net Framework и хотите запустить его в моно, то это работает так же, как и всегда: если вы не используете ничего, что не поддерживается в моно, то оно должно просто работать.