Почему я не могу использовать customer.Name.contains(smith) в методе IEqualityComparer‹Customer› Equals

То, как вы реализовали компаратор равенства, не может работать должным образом. Причина в том, как хэш-набор и компаратор равенства работают внутри. Когда Dictionary или HashSet сравнивают элементы, он сначала вызывает GetHashCode для обоих элементов. Только если эти хэш-коды совпадают, он подтвердит точное совпадение с последующим вызовом Equals, чтобы избежать ложных совпадений в случае конфликта хэш-кодов. Если вы используете свой пример (x.Name = "smith" и y.Name = "mit"), метод GetHashCode будет возвращать разные хэш-коды для каждого элемента, а Equals никогда не вызывается.

Решение в этом случае состоит в том, чтобы использовать только Id для создания хэш-кода. Это немного ухудшит производительность, потому что вам придется чаще вызывать Equals для разрешения коллизии, но это цена, которую вы должны заплатить:

public int GetHashCode(Customer obj)
{
    return obj.Id.GetHashCode() ;
}

Что вы также должны учитывать, что у вас нет гарантии, будет ли ваш существующий элемент x или y. Таким образом, вы должны использовать Contains в обоих направлениях:

public bool Equals(Customer x, Customer y)
{
    return x.Id == y.Id && (x.Name.Contains(y.Name) || y.Name.Contains(x.Name));
}      

Почему метод Equals никогда не срабатывает, если я НЕ использую метод Equals внутри метода Equals CustomerComparer, такого как .Contains?

Метод Equals сработает только в том случае, если в вашей коллекции «клиенты» присутствует хотя бы один элемент с тем же хэш-кодом, что и у объекта Customer, который вы передаете методу Contains набора HashSet. Если вы запустите следующий пример программы, вы увидите, что метод Equals срабатывает:

public static class Program
{
    public class Customer
    {
        public string Id { get; set; }
        public string Name { get; set; }
    }

    public class CustomerComparer : IEqualityComparer<Customer>
    {
        public bool Equals(Customer x, Customer y)
        {
            Console.WriteLine("hit!");
            return x.Id == y.Id && x.Name.Contains(y.Name);
        }

        public int GetHashCode(Customer obj)
        {
            return obj.Id.GetHashCode() ^ obj.Name.GetHashCode();
        }
    }

    public static void Main()
    {
        List<Customer> customers = new List<Customer>()
        {
            new Customer() { Id = "1234", Name = "smith" },
            new Customer() { Id = "1234", Name = "mit" }
        };
        var hashset = new HashSet<Customer>(customers, new CustomerComparer());
        var found = hashset.Contains(new Customer { Id = "1234", Name = "mit" }); // "mit" instead of an equals "smith" in the comparer.
        Console.WriteLine(found); // = true
    }
}

Но если вы удалите второй элемент из списка «клиентов», метод Equals не сработает, поскольку хэш-код клиента «кузнец» в списке имеет другой хэш-код, чем хэш-код клиента «кузнец», который вы передаете в Содержит метод:

List<Customer> customers = new List<Customer>()
        {
            new Customer() { Id = "1234", Name = "smith" }
        };