Как правильно сгенерировать исключение, которому нужно больше, чем просто конструктор?

Как насчет использования std::move?

Exception e("message");
e.set_line(__LINE__);
throw std::move(e);

В качестве альтернативы вы можете создать сборщик в стиле Java следующим образом:

class ExceptionBuilder;

class Exception : public std::runtime_error
{
public:
    static ExceptionBuilder create(const std::string &msg);

    int get_line() const {return line_;}
    const std::string& get_file() const { return file_; }
private:
    // Constructor is private so that the builder must be used.
    Exception(const std::string& msg) : std::runtime_error(msg) {}

    int line_ = 0;
    std::string file_;

    // Give builder class access to the exception internals.
    friend class ExceptionBuilder;
};

// Exception builder.
class ExceptionBuilder
{
public:
    ExceptionBuilder& with_line(const int line) { e_.line_ = line; return *this; }
    ExceptionBuilder& with_file(const std::string &file) { e_.file_ = file; return *this; }
    Exception finalize() { return std::move(e_); }
private:
    // Make constructors private so that ExceptionBuilder cannot be instantiated by the user.
    ExceptionBuilder(const std::string& msg) : e_(msg) { }
    ExceptionBuilder(const ExceptionBuilder &) = default;
    ExceptionBuilder(ExceptionBuilder &&) = default;

    // Exception class can create ExceptionBuilders.
    friend class Exception;

    Exception e_;
};

inline ExceptionBuilder Exception::create(const std::string &msg)
{
    return ExceptionBuilder(msg);
}

Используется следующим образом:

throw Exception::create("TEST")
    .with_line(__LINE__)
    .with_file(__FILE__)
    .finalize();

Ожидается, что классы исключений C++ будут копируемыми или, по крайней мере, перемещаемыми. В вашем примере создание копируемого класса — это вопрос добавления конструктора копирования по умолчанию:

Exception(Exception const&) = default;

Если вам нужно инкапсулировать какое-то некопируемое и неперемещаемое состояние в вашем классе исключений, оберните такое состояние в std::shared_ptr.

Вы можете создать класс хранения данных, например ExceptionData. Затем создайте объект ExceptionData и вызовите его методы. Затем создайте объект Exception, используя std::move в ctor, например:

ExceptionData data;
data.method();
throw Exception(std::move(data));

Конечно, ExceptionData должен быть подвижным, и у вас должен быть ctor, который принимает ExceptionData && (ссылка на rvalue).

Это сработает, если вам действительно нужно избегать копий, но мне кажется, что это предварительная оптимизация. Подумайте, как часто в вашем приложении возникают исключения, и действительно ли стоит усложнять ситуацию в этом отношении.