У вас есть разные варианты.

Вариант 1 — использовать Pushpad Express с ui=false

Я думаю, что проще всего создать кнопку на своем веб-сайте и использовать опцию ui=false, как описано здесь: https://pushpad.xyz/docs/pushpad_express_without_ui

Например, создайте кнопку с эта ссылка на вашем сайте:

https://pushpad.xyz/p/YOUR_PROJECT_ID?ui=false

ПРИМЕЧАНИЕ. Я заметил, что вы используете устаревшую версию Pushpad, которая, к сожалению, не поддерживает параметр ui=false. Чтобы использовать параметр ui=false, вам нужно создать нового отправителя (и выбрать Pushpad Express), а затем создать новый проект, связанный с новым отправителем.

Вариант 2 - Используйте Pushpad Pro

В противном случае, если вы не хотите перенаправлять пользователя на поддомен Pushpad, вы можете использовать Pushpad Pro: https://pushpad.xyz/docs/pushpad_pro_getting_started

Также см. пример «Кнопки» на этой странице: https://pushpad.xyz/docs/javascript_sdk_examples