Создание экземпляра объекта типа класса шаблона в C++

В вашем коде несколько ошибок.

В вашем заголовочном файле вам нужно удалить лишний template из конструктора, он там не принадлежит.

В вашем файле cpp вам нужно заменить все Array:: на Array<n, T>::. Ваш конструктор должен передать n в new[]. Ваш деструктор должен delete[] массив. И operator[] нужно что-то вернуть.

В вашем классе static членов, поэтому вам также необходимо создать их экземпляры.

Попробуй это:

Массив.ч

#ifndef _ARRAY_H_TROFIMOV_
#define _ARRAY_H_TROFIMOV_ 

template<size_t n, typename T>
class Array
{
        static unsigned __freeId, __quantity;
        unsigned _id;

        T* _array;
public:
        Array(void);
        ~Array(void);
        T& operator[](const size_t);
};

#include "Array.cpp"

#endif

Массив.cpp

#include "Array.h" 

template<size_t n, typename T>
Array<n, T>::Array(void) 
    : _id(++__freeId), _array(new T[n]) {
}

template<size_t n, typename T>
Array<n, T>::~Array(void) {
    delete[] _array;
}

template<size_t n, typename T>
T& Array<n, T>::operator[](const size_t i) {
    return _array[i];
}

Main.cpp

#include "Array.h"

template<> unsigned Array<7, int>::__freeId = 0;
template<> unsigned Array<7, int>::__quantity = 0;

int main() {
    Array<7, int> a;
    return 0;
}

Живое дено

Вам не нужно использовать шаблон при объявлении методов или конструкторов внутри вашего класса. Объявленный вами конструктор является шаблонным методом внутри шаблонного класса, а не конструктором по умолчанию.

Я бы никогда не стал полагаться на ошибки от intellisense, иногда это просто неправильно, запуск компилятора обычно дает более точные и подробные сообщения об ошибках.