Почему reinterpret_cast работает в частном наследовании

Нарушается ли частное наследование? Не совсем.

Доступность в C++ влияет только на то, в каких областях можно использовать идентификатор для правильной ссылки на что-либо. Система предназначена для защиты от Мёрфи, а не от макиавеллиевского трюка, который вы используете.

reinterpret_cast в основном вы говорите компилятору "забудь то, что ты знаешь, вместо этого доверься моему мнению". Так оно и есть. Вы утверждаете, что это lvalue на самом деле относится к base? Хорошо, будь по-твоему. Но компилятор ничего не сделает, чтобы защитить вас, он предполагает, что вы знаете, что делаете. Он может довольно легко сломаться. Вот пример @Dani, и вот этот:

class derived : private base
{
public:
    virtual ~derived() = default;
    derived(int b):base(b) {};  
};

Как вы думаете, что произойдет, если вы попытаетесь использовать c и вызвать функцию-член, использующую _a? Что он найдет вместо этого?

reinterpret_cast не совпадает с static_cast
Рассмотрим следующий пример:

class A { int a; }
class B { int b; }
class C : public A, B { }

Приведение C к B с использованием static_cast изменит указатель на правильный результат, в то время как reinterpret_cast сохранит указатель таким же, что неверно.