Как мне загрузить данные из сторонней базы данных, у которой есть собственный API (у нее есть API Search EndPoint) для реализации с моим ботом веб-приложения Azure?

Вы можете ознакомиться с этой документацией: https://docs.microsoft.com/en-us/aspnet/web-api/overview/advanced/calling-a-web-api-from-a-net-client

Пример в этом документе создает экземпляр объекта HTTP-клиента, подобного этому, хотя вам решать, хотите ли вы использовать static или любые другие модификаторы в объявляемом вами поле:

static HttpClient client = new HttpClient();

Вы можете видеть, что HTTP-клиент используется для таких запросов GET:

static async Task<Product> GetProductAsync(string path)
{
    Product product = null;
    HttpResponseMessage response = await client.GetAsync(path);
    if (response.IsSuccessStatusCode)
    {
        product = await response.Content.ReadAsAsync<Product>();
    }
    return product;
}

Важные части - это client.GetAsync и response.Content.ReadAsAsync.

Это довольно минимальный пример, который не включает такие вещи, как заголовки авторизации и тому подобное. Вы можете ознакомиться с Microsoft.Bot.Connector и особенно Conversations .cs для более сложных примеров HTTP-запросов.