Написание карты для этого преобразователя монад

У меня есть преобразователь монад:

newtype ChoiceT f m a = ChoiceT (forall x . f x -> m x) -> m a

Теперь я думаю, что это функтор категории Monads, и я хотел бы сделать карту для этого

mapChoiceT ::
  (n b -> m a)
  -- ^ Function from one monad to another.
  -- This is our morphism in the domain.
    -> (ChoiceT f m a -> ChoiceT f n b)
    -- ^ Function from lifted versions of the monads.
    -- This is our morphism in the image

Однако реализация этого ускользает от меня. Я смог написать более простую версию, в которой n ~ m:

lift2 ::
  (m a -> m b)
    -> (ChoiceT f m a -> ChoiceT f m b)
lift2 f m = ChoiceT (\ chooser -> f $ runChoiceT chooser m)
  where
    runChoiceT :: (forall x . f x -> m x) -> ChoiceT f m a -> m a
    runChoiceT chooser (ChoiceT runner) = runner chooser

Но мне кажется, что абстрагироваться от этого не под силу. Оказалось, что это может быть контравариантный функтор, который определенно затруднит написание ковариантной карты, но мне тоже не повезло с написанием contramapChoiceT.

mapChoiceT ::
  (n b -> m a)
  -- ^ Function from one monad to another.
  -- This is our morphism in the domain.
    -> (ChoiceT f m a -> ChoiceT f n b)
    -- ^ Function from lifted versions of the monads.
    -- This is our morphism in the image

Является ли этот преобразователь функтором категории Monads? Если это так, то как я ошибаюсь при реализации карты? Если нет, то какой контрпример?