Масштабирование фигуры для полного включения другой фигуры

Если вам нужно просто масштабировать внешнюю фигуру без необходимости находить даже близкое к оптимальному решение, то это относительно просто.

Преобразуйте оба уравнения в полярные координаты. Настройте коэффициент радиуса b. Вычтите, чтобы у вас было что-то вроде

c(theta, r) = r * b(theta) - a(theta)

Теперь вы просто решаете r, находите такое значение, при котором c положительно для всех тэта. это будет так же сложно, как и ваши параметризованные описания форм.

Если вам нужно минимальное или близкое к минимальному решение, то хорошего решения в закрытой форме не существует. Рассмотрим определение (r, theta) выше, но добавьте больше параметров: вы также можете перевести или повернуть уравнение, что даст вам

c(theta, alpha, r, (h, k)) = r * b(theta + alpha, (h, k)) - a(theta)

В этом 5-мерном пространстве труднее искать. Типичная эвристика — это градиентный спуск в пространстве поиска, но он не работает с произвольными пространствами — только с теми, градиенты которых хорошо себя ведут.

Если у вас есть известные ограничения на ваши формы, может быть хорошее общее решение с поворотами и переводами. Например, если вы знаете, что фигуры выпуклые, проблема становится намного проще: вы определяете максимальный и минимальный промежутки или итеративно расширяете и перемещаете внешнюю форму, пока не будут устранены все перекрытия. Однако для этого потребуется новое определение проблемы и новый опубликованный вопрос.