Запрос Mongo для значения в объекте с любым ключом

Предположим, у нас есть документы в коллекции Mongo следующего формата:

{
    "_id" : "5fb3c5ce9997c61e15a9108c",
    "stages" : {
          "stage1" : {
              "type" : "RandomType"
          },
          "stage2" : {
              "type" : "RandomType2"
          },
          "arbitaryStage" : {
              "type" : "RandomType3"
          },
          // Possibly many other stages
    },
    // Fields omitted
}

Как я могу запросить набор таких документов, где любое stages.X.type равно предопределенному значению? Мое приложение не знает, что такое X и не заботится об этом, оно должно знать только, что тип хотя бы одного из этапов равен заданному значению. Я пытаюсь сделать это в Morphia, однако простой JS поможет мне, если это возможно сделать с данным форматом данных.

Для справки, класс, из которого произошел этот объект, следующий:

@Entity(value = "stages_collection", noClassnameStored = true)
public class StackOverflowQ {
    @Id
    private ObjectId id;
    @Embedded
    private Map<String, Stage> stages;
    // Rest of fields/setters/getters omitted
}

public class Stage {
    private String type;
    // Rest of fields/setters/getters omitted
}