Модуль Mathematica по сравнению с блоком или блоком - руководство, практическое правило использования?

Более практическую разницу между Block и Module можно увидеть здесь:

Module[{x}, x]
Block[{x}, x]
(*
-> x$1979
   x
*)

Поэтому, если вы хотите вернуть, например, x, вы можете использовать Block. Например,

Plot[D[Sin[x], x], {x, 0, 10}]

не работает; чтобы заставить его работать, можно было бы использовать

Plot[Block[{x}, D[Sin[x], x]], {x, 0, 10}]

(конечно, это не идеально, это просто пример).

Другое использование - это что-то вроде Block[{$RecursionLimit = 1000},...], которое временно заменяет $RecursionLimit (Module не сработало бы, поскольку оно переименовывает $RecursionLimit).

Можно также использовать Block для блокировки оценки чего-либо, например

Block[{Sin}, Sin[.5]] // Trace
(*
-> {Block[{Sin},Sin[0.5]],Sin[0.5],0.479426}
*)

т. е. он возвращает Sin[0.5], который оценивается только после завершения выполнения Block. Это потому, что Sin внутри Block — это просто символ, а не функция синуса. Вы могли бы даже сделать что-то вроде

Block[{Sin = Cos[#/4] &}, Sin[Pi]]
(*
-> 1/Sqrt[2]
*)

(используйте Trace, чтобы увидеть, как это работает). Таким образом, вы также можете использовать Block для локального переопределения встроенных функций:

Block[{Plus = Times}, 3 + 2]
(*
-> 6
*)

Как вы упомянули, есть много вещей, которые нужно рассмотреть, и возможно подробное обсуждение. Но вот несколько практических правил, которые я применяю в большинстве случаев:

Module[{x}, ...] является самым безопасным и может понадобиться, если либо

1. Существуют существующие определения для x, которые вы не хотите нарушать во время оценки модуля, или

2. Существует код, в котором x не определен (например, такой код, как Integrate[..., x]).

Модуль также является единственным выбором для создания и возврата нового символа. В частности, по этой причине модуль иногда необходим в расширенном динамическом программировании.

Если вы уверены, что нет важных существующих определений для x или любого кода, полагающегося на то, что он не определен, то Block[{x}, ...] часто работает быстрее. (Обратите внимание, что в проекте, полностью написанном вами, уверенность в этих условиях является разумным стандартом «инкапсуляции», который вы, возможно, захотите применить в любом случае, и поэтому Блок часто является разумным выбором в таких ситуациях.)

With[{x = ...}, expr] — единственная конструкция области видимости, которая вводит значение x внутрь Hold[...]. Это полезно и важно. With может быть быстрее или медленнее, чем Block, в зависимости от expr и конкретного выбранного пути оценки. Однако With менее гибок, так как вы не можете изменить определение x внутри expr.

Андрей уже дал очень исчерпывающий ответ. Подводя итог, отметим, что Module предназначен для определения локальных переменных, которые можно переопределить в рамках определения функции, а With — для определения локальных констант, которые могут не быть. Вы также не можете определить локальную константу на основе определения другой локальной константы, которую вы установили в том же операторе With, или иметь несколько символов в левой части определения. То есть не работает следующее.

With[{{a,b}= OptionValue /@ {opt1,opt2} }, ...]

Я обычно устанавливаю сложные определения функций с Module, заключающим With. Я установил все локальные константы, которые я могу сначала внутри With, например. Length данных, переданных функции, если мне это нужно, а затем другие локальные переменные по мере необходимости. Причина в том, что With немного быстрее, потому что у вас действительно есть константы, а не переменные.

Я хотел бы отметить, что официальная документация о разнице между Block и Module доступна по адресу http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/BlocksComparedWithModules.html.