Метод наименьших квадратов работает не так, как ожидалось, или нет?

Я думаю, что у меня достаточно ясное представление о проблеме, чтобы предложить ответ.

По сути, внутренняя часть трехугольной области полностью состоит из точек, которые не достигают трех расчетных расстояний (неточные радиусы окружности). Поэтому неудивительно, что итеративное улучшение решения в поисках аппроксимации с минимальным квадратом ошибки приведет к перемещению точки за пределы этой треугольной области.

Подробнее о том, почему точки внутри области дают расстояния, которые ниже заданных оценок: Это именно те точки, которые находятся внутри всех трех кругов (если такое расположение выполняется). Следовательно, все три расстояния от такой точки до центров кругов меньше их соответствующих радиусов.

Использование среднего значения трех угловых точек (это то, что имеется в виду под кластерными точками в вопросе?), вероятно, является довольно хорошим способом для начала. Если есть простое место для улучшения вычислений, оно может заключаться в использовании взвешенного критерия наименьших квадратов, а не абсолютного критерия наименьших квадратов.

Под этим я подразумеваю, что если один радиус равен 10 ярдам, а два других радиуса намного больше (скажем, 200 и 300 ярдов ради обсуждения), вероятно, не имеет смысла предполагать, что все предполагаемые расстояния имеют ошибки. примерно одинакового размера (это то, что ищет абсолютный метод наименьших квадратов). Вместо этого предположение, что ошибка в расчетных расстояниях примерно пропорциональна каждому расстоянию (критерий относительной ошибки), с большей вероятностью приведет к лучшему решению, например. придание большего веса более короткому расстоянию (поскольку пропорциональная ошибка при этом будет меньше по абсолютной величине, чем пропорциональная ошибка на более длинных расстояниях).

Это всего лишь набросок одной идеи, которую вы, возможно, захотите включить в свое решение. Я так понимаю, у вас есть только три данных для работы (местоположения, известные с достаточной точностью как центры кругов, большая неопределенность в трех радиусах). Таким образом, нет смысла пытаться применять методы, изощренные в отношении точности, а скорее предпочесть методы, дающие надежное решение. Я думаю, что критерий относительной ошибки поможет вам двигаться в этом направлении.

Метод наименьших квадратов минимизирует общий квадрат ошибок, но ничего не говорит о том, насколько индивидуальная точка будет близка к истинному значению. На коэффициенты влияют все точки, а не только некоторые.