Как я могу сохранить клавиатуру даже при представлении контроллера модального представления?

Вы не можете сделать это с помощью presentModalViewController:animated:. Вам нужно будет поместить свое модальное представление в отдельный UIWindow, установить для этого второго UIWindow windowLevel какое-то высокое значение (например, UIWindowLevelStatusBar) и самостоятельно анимировать его на экране и за его пределами. Вам вообще не понадобится второй контроллер представления.

В вашем XIB создайте новый объект UIWindow верхнего уровня. Поместите свой второй взгляд в это окно. Подключите окно к розетке на вашем контроллере представления. (Я назвал розетку otherWindow в своем тестовом коде, но overlayWindow было бы лучше. Розетка должна быть объявлена ​​strong или retain.)

В вашем контроллере представления реализуйте эти методы:

- (IBAction)presentOverlay:(id)sender
{
    CGRect frame = [UIScreen mainScreen].applicationFrame;
    frame.origin.y += frame.size.height;
    self.otherWindow.frame = frame;
    self.otherWindow.windowLevel = UIWindowLevelStatusBar;
    self.otherWindow.hidden = NO;
    [UIView animateWithDuration:.25 animations:^{
        self.otherWindow.frame = [UIScreen mainScreen].applicationFrame;
    }];
}

- (IBAction)dismissOverlay:(id)sender
{
    [UIView animateWithDuration:.25 animations:^{
        CGRect frame = [UIScreen mainScreen].applicationFrame;
        frame.origin.y += frame.size.height;
        self.otherWindow.frame = frame;
    } completion:^(BOOL completed){
        self.otherWindow.hidden = YES;
    }];
}

Используйте их, чтобы показать или закрыть вид наложения.