РАСЧЕТ ДЛЯ ДАННЫХ И МАШИНОСТРОЕНИЯ
Интегралы
Область под функциями
После определения производных введем интегралы. Нелегко определить, теперь мы можем понимать их как область между функцией и осью x.
Интеграл ограниченной области
Сначала мы определим интегралы для ограниченных областей, назначив интеграл от f на [a, b] площади R (f, a, b) . В этом примере мы используем его для всегда положительного интервала, но он определен для отрицательного и интервалов, имеющих положительные и отрицательные значения.
На следующем гифке мы покажем, как применить эту идею. [A, b] разделен на подинтервалы, затем минимальное (m_i) и максимальное (M_i) значение функция для каждого интервала.
Теперь мы можем определить две области:
- Тот, который создается минимумами: s = m1 (t1-t0) + m2 (t2-t1) +…
- Созданный по максимумам: S = M1 (t1-t0) + M2 (t2-t1) +…
Область R (f, a, b) находится в некоторой точке между этими значениями, s≤A≤S.
Нижняя и верхняя суммы
Пусть a ‹b. Разбиение интервала [a, b] - это конечный набор точек в [a, b], одна из которых - a, и открытым из которых является b.
Предположим, f ограничен на [a, b] и P = {t_0,…, t_n} является разбиением [a , б]. Позволять
m1 = inf {f (x): t_ (i-1) ≤t_i},
M1 = sup {f (x): t_ (i-1) ≤t_i},
нижняя сумма для P, обозначенная L (f, P), и верхняя сумма, обозначается через U (f, P) обозначаются как:
Следующая лемма даст вам представление о том, как мы собираемся определять интегралы:
Если Q содержит P (все точки в P находятся в Q), то:
L(f, P)≤L(f, Q)
U(f, P)≥U(f, Q)
Интегралы
Функция f, ограниченная на [a, b], интегрируема на [a, b], если sup {L (f, P): P раздел [a, b]}. В этом случае общее число называется интегралом от f в [a, b] и обозначается следующим образом:
Если f интегрируемый, то для всех разделов P из [a, b]:
Более того, интеграл - это единственное число с этим свойством.
Интегрируемость
Чтобы иметь возможность вычислить интеграл, наша функция должна быть интегрируемой, чтобы проверить это, мы можем использовать следующее определение:
Если f ограничен на [a, b], то f интегрируем на [a, b] тогда и только тогда, когда для каждого ε ›0 существует раздел P из [a, b] такое, что U (f, P) -L (f, P) ‹ε.
Если f непрерывен на [a, b], то f интегрируем на [a, b].
Обновление обозначений интегралов
Поскольку теперь мы написали интегралы с символом и определили его между двумя значениями, но что происходит, когда у нас есть несколько переменных, мы не знаем, с какой из них мы хотим интегрировать функцию.
В левом интеграле мы не знаем, какая переменная независима, а для производных нам нужно интегрировать на основе одной переменной за раз, поэтому мы вводим dx, чтобы предоставить эту информацию.
В этом примере решением будет c (b² / 2-a² / 2).
Свойства интеграции
Пусть a ‹c‹ b. Если f интегрируем на [a, b], то f интегрируем на [a, c] и на [c, b]. И наоборот, если f интегрируем на [a, c] и на [c, b], то f интегрируема на [a, b]. Наконец, если f интегрируем на [a, b], то
Если f и g интегрируемы на [a, b], то f + g интегрируем на [a, b] и
Если f является целым на [a, b], то для любого числа x функция cf интегрируема. на [a, b]
Заключение
В этом посте мы рассказали, как определяются интегралы, это позволит нам вычислить площади под кривыми функций. Он используется при глубоком обучении, функциях вероятности и т. Д.
Это двадцать девятая публикация моего конкретного # 100daysofML, я буду публиковать достижения в этой задаче на GitHub, Twitter и Medium (Adrià Serra).
