ИЗЧИСЛЕНИЕ ЗА НАУКА ЗА ДАННИ И МАШИННО ОБУЧЕНИЕ
Интеграли
Площта под функциите
След като дефинираме производните, въвеждаме интегралите. Не е лесно за дефиниране, сега можем да ги разберем като областта между функцията и оста x.
Интеграл на ограничена област
Първо, ще дефинираме интегралите за ограничени региони, като присвоим интеграла от f върху [a, b]към областта R(f, a, b) . В този пример го използваме за винаги положителен интервал, но той е дефиниран за отрицателни и интервали с положителни и отрицателни стойности.
В следващия gif показваме как да приложим идеята, [a,b] е разделен на подинтервали, след това минималната (m_i) и максималната (M_i) стойност на функцията за всеки интервал.
Сега можем да дефинираме две области:
- Този, създаден от минимумите: s=m1(t1-t0) + m2(t2-t1)+ …
- Този, създаден от максимумите: S=M1(t1-t0) + M2(t2-t1)+ …
Областта R(f, a, b) е в някаква точка между тези стойности, s≤A≤S.
Долни и горни суми
Нека a ‹ b. Част от интервала[a,b] е краен набор от точки в [a,b], една от които е a, и отворен от които еб.
Да предположим, че f е ограничено от[a,b] иP = {t_0,…,t_n}е дял от [a ,b]. Позволявам
m1 = inf{f(x):t_(i-1)≤t_i},
M1 = sup{f(x):t_(i-1)≤t_i},
Долната сума за P, означена с L(f, P), игорната сума, означена с U(f, P) се означават като:
Следващата лема ще ви даде представа как ще дефинираме интегралите:
Ако Q съдържа P (всички точки в P са в Q), тогава:
L(f, P)≤L(f, Q)
U(f, P)≥U(f, Q)
Интеграли
Функция f, която е ограничена на [a,b] е интегрируемана [a,b] ако sup{L(f, P) : Pдял на[a,b]}. В този случай общото число се нарича интеграл от f в [a,b] и се обозначава с:
Ако f е интегрируем, тогава за всички дялове на P на [a,b]:
Освен това интегралът е уникалното число с това свойство.
Интегрируемост
За да можем да изчислим интеграл, нашата функция трябва да е интегрируема, за да я проверим, можем да използваме следната дефиниция:
Ако f е ограничено на [a, b], тогава fе интегрируемона [a, b] тогава и само ако за всяко ε›0съществува дял P на [a, b] така че U(f,P)-L(f,P)‹ε.
Ако fе непрекъснато върху [a,b], тогава f е интегрируемо върху [a,b].
Надграждане на записа на интегралите
Тъй като сега написахме интеграли със символа ∫ и го дефинирахме между две стойности, но какво се случва, когато имаме множество променливи, не знаем коя е тази, с която искаме да интегрираме функцията.
В левия интеграл не знаем коя променлива е независима, що се отнася до производните, трябва да интегрираме въз основа на една променлива в даден момент, така че въвеждаме dx, за да дадем тази информация.
В този пример решението би било c(b²/2-a²/2).
Свойства на интеграцията
Нека a‹c‹b. Ако f може да се интегрира върху [a,b], тогава f може да се интегрира върху [a,c] и върху [c,b]. Обратно, ако f е интегрируем на [a,c] и на [c,b], тогава f е интегрируем на [a,b]. И накрая, ако f е интегрируемо на [a,b], тогава
Ако fи g са интегрируеми на[a,b], тогава f+g е интегрируеми на [a,b] и
Ако f е неразделна част от [a,b], тогава за всяко число x функцията cf е интегрируема на [a,b]
Заключение
В тази публикация представихме как се дефинират интегралите, което ще ни позволи да изчисляваме площи под криви на функции. Използва се при дълбоко обучение, вероятностни функции и т.н.
Това е двадесет и деветата публикация от моя конкретен #100daysofML, ще публикувам напредъка на това предизвикателство в GitHub, Twitter и Medium (Adrià Serra).
