В този раздел представяме важни класове пространства, в които ще живеят нашите данни и нашите операции

ще се проведе: векторни пространства, метрични пространства, нормирани пространства и пространства за вътрешен продукт. В общи линии

казано, те са дефинирани по такъв начин, че да уловят едно или повече важни свойства на Евклид

пространство, но по по-общ начин.

3.1 Векторни пространства

Векторните пространства са основната настройка, в която се случва линейната алгебра. Векторно пространство V е множество (the

елементи от които се наричат ​​вектори), върху които са дефинирани две операции: могат да се добавят вектори

заедно, а векторите могат да бъдат умножени по реални числа1, наречени скалари. V трябва да задоволи

(i) Съществува адитивна идентичност (написана с 0) във V, така че x + 0 = x за всички x 2 V

(ii) За всеки x 2 V съществува адитивна обратна (написана 　x), така че x + (　x) = 0

(iii) Съществува мултипликативна идентичност (написана с 1) в R, така че 1x = x за всички x 2 V

(iv) Комутативност: x + y = y + x за всички x; y 2 V

(v) Асоциативност: (x + y) + z = x + (y + z) и ( x) = ( )x за всички x; y; z 2 V и ; 2 Р

(vi) Дистрибутивност: (x + y) = x + y и ( + )x = x + x за всички x; y 2 V и ; 2 Р

Набор от вектори v1; : : : ; vn 2 V се казва, че е линейно независим, ако

1v1 + + nvn = 0 предполага 1 = = n = 0:

Обхватът на v1; : : : ; vn 2 V е множеството от всички вектори, които могат да бъдат изразени от линейна комбинация

от тях:

spanfv1; : : : ; vng = fv 2 V : 9 1; : : : ; n, така че 1v1 + + nvn = vg

Ако набор от вектори е линейно независим и неговият обхват е цялото V , тези вектори се казва, че

да бъде основа за V . Всъщност всеки линейно независим набор от вектори формира основа за своя обхват.

Ако едно векторно пространство е обхванато от краен брой вектори, се казва, че е крайномерно.

Иначе е крайномерен. Броят на векторите в базис за крайномерен

векторното пространство V се нарича размерност на V и се обозначава dim V .

3.1.1 Евклидово пространство

Типичното векторно пространство е Евклидовото пространство, което обозначаваме Rn. Векторите в това пространство

се състои от n-кортежи реални числа:

x = (x1; x2; : : : ; xn)

За нашите цели ще бъде полезно да ги разглеждаме като n 1 матрици или колонни вектори:

Събирането и скаларното умножение са дефинирани по компоненти на вектори в Rn:

Евклидовото пространство се използва за математическо представяне на физическото пространство с понятия като разстояние,

дължина и ъгли. Въпреки че става трудно за визуализиране за n › 3, тези понятия се обобщават

математически по очевидни начини. Дори когато работите в по-общи настройки от Rn, това е така

често е полезно за визуализиране на добавяне на вектори и скаларно умножение по отношение на 2D вектори в равнината

или 3D вектори в пространството.

3.1.2 Подпространства

Векторните пространства могат да съдържат други векторни пространства. Ако V е векторно пространство, тогава S V се казва, че е a

подпространство на V ако

(i) 0 2 S

(ii) S е затворен спрямо събирането: x; y 2 S предполага x + y 2 S

(iii) S е затворен спрямо скаларно умножение: x 2 S; 2 R означава x 2 S

Обърнете внимание, че V винаги е подпространство на V , както и тривиалното векторно пространство, което съдържа само 0.

Като конкретен пример, права, минаваща през началото, е подпространство на евклидовото пространство.

Ако U и W са подпространства на V, тогава тяхната сума се дефинира като

U +W = fu + w j u 2 U;w 2 Wg

Лесно е да се провери, че това множество също е подпространство на V . Ако U \W = f0g, сумата се казва

да бъде пряка сума и написана U W. Всеки вектор в U W може да бъде записан уникално като u + w

за някои u 2 U и w 2 W. (Това е както необходимо, така и достатъчно условие за пряка сума.)

Размерите на сумите на подпространствата се подчиняват на приятелска връзка (вижте [4] за доказателство):

dim(U +W) = dimU + dimW ★ dim(U \W)

Следва, че

dim(U W) = dimU + dimW

тъй като dim(U \W) = dim(f0g) = 0, ако сумата е директна.

3.2 Линейни карти

Линейна карта е функция T : V ! W, където V и W са векторни пространства, което удовлетворява

(i) T(x + y) = Tx + Ty за всички x; y 2 V

(ii) T( x) = Tx за всички x 2 V; 2 Р

Стандартната нотационна конвенция за линейни карти (която следваме тук) е да се откажат ненужните

скоби, записвайки Tx вместо T(x), ако няма риск от двусмислие, и обозначават композиция

на линейни карти от ST, а не от обичайния S T.

Линейна карта от V към себе си се нарича линеен оператор.

Забележете, че дефиницията на линейна карта е подходяща за re

ект структурата на векторните пространства, тъй като тя

запазва двете основни операции на векторните пространства, събиране и скаларно умножение. В алгебрични термини,

линейна карта се нарича хомоморфизъм на векторни пространства. Обратим хомоморфизъм (където

обратното също е хомоморфизъм) се нарича изоморфизъм. Ако съществува изоморфизъм от V

към W, тогава се казва, че V и W са изоморфни и пишем V = W. Изоморфни векторни пространства

са по същество „едни и същи” по отношение на тяхната алгебрична структура. Интересен факт е, че нямате измерения

векторните пространства2 с едно и също измерение винаги са изоморфни; ако V; W са реален вектор

пространства с dim V = dimW = n, тогава имаме естествения изоморфизъм

‘ : V ! W

1v1 + + nvn 7! 1w1 + + nwn

където v1; : : : ; vn и w1; : : : ;wn са всякакви бази за V и W. Тази карта е добре дефинирана, защото всеки

вектор във V може да бъде изразен уникално като линейна комбинация от v1; : : : ; vn. Това е просто

за да се провери, че ' е изоморфизъм, така че всъщност V = W. По-специално, всеки реален n-мерен вектор

пространството е изоморфно на Rn.

3.2.1 Матрицата на линейна карта

Векторните пространства са доста абстрактни. За да представяте и манипулирате вектори и линейни карти на компютър,

използваме правоъгълни масиви от числа, известни като матрици.

Да предположим, че V и W са крайномерни векторни пространства с бази v1; : : : ; vn и w1; : : : ;wm, съответно,

и Т : V ! W е линейна карта. Тогава матрицата на T с елементи Aij, където i = 1; : : : ;м,

j = 1; : : : ; n, се определя от

Tvj = A1jw1 + + Amjwm

Тоест j-тата колона на A се състои от координатите на Tvj в избраната основа за W.

Обратно, всяка матрица A 2 Rmn индуцира линейно отображение T : Rn ! Rm дадено от

Tx = Ax

и матрицата на тази карта по отношение на стандартните бази на Rn и Rm разбира се е просто A.

Ако A 2 Rmn, неговото транспониране A› 2 Rnm се дава от (A›)ij = Aji за всяко (i; j). С други думи,

колоните на A стават редове на A›, а редовете на A стават колони на A›.

Транспонирането има няколко хубави алгебрични свойства, които могат лесно да бъдат проверени от дефиницията: