Докато чета всяка статия, която виждам за науката за данни, има няколко теми, които продължават да изникват, а именно статистика, линейна алгебра, Python, SQL и матрици. Това е последното, за което искам да говоря в тази публикация, макар и не по математическия начин, който може да се очаква. Е, може би е така. Ще видите.

Исках да споделя малко повече за моя опит в музикалния анализ, по-специално, тъй като е свързан с възможно най-много концепции, които са свързани с математика и данни. Това е основата за целия този блог. Така че, нека да преминем направо към него.

В 12-тоналната серийна музика композиторът избягва това, което бихме помислили за стандартни гами, които в широк смисъл се отнасят до единичен център на височина или тон. Вместо това, серийните композитори измислят редове, съдържащи всичките 12 височини на хроматичната гама. Тези редове не са непременно рандомизирани, въпреки че предполагам, че могат да бъдат, а по-скоро създават свой собствен вид препратки. Един ред може да предпочита определен интервал (разстояние между терени) или определена колекция, което означава групи от терени, които принадлежат към един и същ набор-клас. След като редът е зададен (по-лесно да се каже, отколкото да се направи!), композиторът е свободен да го манипулира чрез ретроградиране, транспониране, обръщане или някаква комбинация от тях. Въпреки това, важното нещо, което трябва да се осъзнае, е, че без значение каква манипулация реши композиторът, структурната цялост (което означава интервалната структура) на този ред не се унищожава.

Знам, че има много жаргон в този параграф, но останете с мен и се надявам, че мога да изясня всичко това.

Сега, като теоретик, моята работа е да разкрия тези процеси. Отново: по-лесно да се каже, отколкото да се направи. Първо, трябва да се запитам дали това е сериал? Това до голяма степен става, като първо слушате и след това набелязвате някои терени. Тъй като висините вече не са референтни към скала или се фокусират обратно върху единична височина, теоретиците при анализа на 12-тонална музика обикновено използват целочислена нотация, за да представят височини. Това е аритметика с основа 12 и е неизменна. Следователно C = 0, C#D-бемол = 1, D = 2, D#/E-бемол = 3 и т.н. обратно до C = 0. Забележете, че тъй като вече не считаме тези височини за препращащи обратно към единичен тон (ключ) или мащаб, че вече няма значение как се изписват тоновете. E, Dx, F-flat — независимо как го наричате, това е 4. Същото за F#/G-flat/Ex, всичките 6. Няма значение в коя октава са поставени височини, числата никога не се променят. някога. Така че сега имаме равни условия.

Така че можем да мислим за тези терени, когато са оформени в някакъв ред, като този по-долу.

Точно сега, докато го гледам, със сигурност има няколко неща, които ми изникват, но е много по-лесно да видим модели, които изскачат, когато вмъкнем този ред в матрица. Можете да видите това по-долу.

Бърза бележка за четене на матрица тук: всички редове отляво надясно са транспозиции на оригиналния ред, който е най-отгоре; колоните отгоре надолу са инверсии на реда; отдолу нагоре са ретроградни инверсии; от дясно на ляво са ретроградни.

Транспонирането е просто - включва просто добавяне на едно число към всяко цяло число на стъпката. Искате ли да повдигнете оригиналния ред с 4 половин стъпки? Просто добавете 4 към всяко число, mod 12. Така 9 става 1, 0 става 4, 3 става 7 и така нататък. Искате ли да го обърнете? Е, можете да погледнете матрицата, разбира се, но за да разберете какво се случва, просто изследвайте интервалите. Девет към 0 е 3 (9 + 3 = 0), така че какво е 9–3? 6; тогава от 0 до 3 е +3, 6–3 = 3, след тази най-лява колона надолу. Ето как се прави матрицата. Така интервалната структура остава непокътната.

Нека продължим да изследваме тази матрица, тъй като тя има някои други интересни свойства. Мисля, че се виждат по-лесно, ако насложим някои полезни маркери. Виж това:

Сега можем да започнем да виждаме някои от интересните модели, които се появяват в тази матрица. Плътната линия разделя матрицата 12x12 на 4 квадранта, докато пунктираната линия разделя тези квадранти на подквадранти. Сега нека разгледаме всеки от тези по-малки подквадранти.

Вземете подквадрантите в горния ляв квадрант. Забележете как най-горният ляв квадрант има само цели числа 0, 3, 6, 9. Следващият подквадрант вдясно има само цели числа 2, 5, 8, e (e и t са съответно 11 и 10 . Това помага да се избегне объркване, когато числата започнат да летят наоколо. Не искаме 11 да изглежда като две единици.) ​​Имаме и подквадрант от 1, 4, 7, t и накрая още 0, 3, 6, 9.

Добре, сега нещата започват да стават интересни. Това е свойство, което не е присъщо на всяка 12-тонална матрица. Какво общо имат тези тетракорди (колекции от 4 височини), ако има нещо общо? Погледнете 0, 3, 6, 9, които бихме отбелязали като {0,3,6,9}, като речник в Python. Сега вижте {2,5,8,e}. Забележете как {0,3,6,9}-1 = {2,5,8,e}? Те са един и същ тетрахорд, свързан чрез транспониране. Погледнете го по друг начин: чрез интервална структура. 0+3=3, 3+3=6, 6+3=9. Всяка височина е разделена от 3 полутона. 2+3=5, 5+3=8, 8+3=e. Отново всяка височина е разделена от 3 полутона. Това означава, че тетрахордите принадлежат към един и същи набор-клас. И, да, {1,4,7,t} също го прави.

Интересното за тези конкретни тетрахорди е, че те също са симетрични. Разстоянието между първите две стъпки (индексни числа 0 и 1, в термините на Python) е +3 (или -9, ако искате да мислите за това по този начин, странно), е същото като разстоянието между последните две стъпки ( индексни номера 2 и 3). Можем да кажем +3+3.

Няма твърде много от тези акорди в дивата природа. Виж това. Нека просто преминем през тетракорди, като добавим 3 към всяка височина и да видим колко бързо ще завършим с повторение:

{0,3,6,9}, {1,4,7,t}, {2,5,8,e}, {3,6,9,0}…..

Чакай малко. Вече затворихме цикъла. Има само 3 отделни члена на този набор-клас. Между другото, ние каталогизираме набор-класове по един от двата начина: име Forte (кръстено на Алън Форте) или по основна форма. Основната форма е формата на звучността, която е най-компактна и зададена на 0. В този случай {0,3,6,9} ще бъде основната форма на set-class. Когато изброяваме едновременностите в обикновена форма, те изглеждат така: [0369].

Това е само надраскване на повърхността. Може да има и обикновено е включена много повече математика. Ще стигна до това в следващата си публикация, където ще бъдат намерени още повече връзки между математиката, кодирането, музиката и музикалния анализ.