これで論文表現を学ぶ
След като обсъдихме диференцирането на сложни карти в предходните бележки, сега се обръщаме към интегрирането на сложни карти. Първо ще разгледаме накратко ситуацията на интегриране на (подходящо регулярни) реални функции
на една променлива. Всъщност има три тясно свързани концепции за интеграция, които възникват в тази настройка:
- (i) „определен интеграл със знак“
- , който обикновено се тълкува като интеграл на Риман (или еквивалентно, интеграл на Дарбу), който може да се дефинира като граница (ако съществува) на сумите на Риман
- където
- е някакъв „раздел“ на
- ,
- е елемент от интервала
- , а ограничението се приема като максимален размер на мрежата
- отива на нула. Удобно е да се приеме конвенцията, че
- за
- ; алтернативно може да се тълкува
- като границата на сумите на Риман (1), където сега (обърнатата) част
- тръгва наляво от
- to
- , а не надясно от
- to
- .
- (ii) определен интеграл без знак
- , обикновено тълкуван като „интеграл на Лебег“. Точното определение на този интеграл е малко сложно (вижте напр. тази предишна публикация), но грубо казано идеята е да се приближи
- чрез прости функции
- за някои коефициенти
- и комплекти
- , и след това приближете интеграла
- по количествата
- , където
- е мярката на Лебег на
- . За разлика от определения интеграл със знак, не се налага или използва ориентация върху основния домейн на интеграция, който се разглежда като „ненасочен“ набор
- .
- (iii) Неопределен интеграл или антипроизводна
- , дефинирана като всяка функция
- чиято производна
- съществува и е равно на
- on
- . Известно е, че първоизводната се дефинира само до добавянето на произволна константа
- , така например
- .
Има някои други варианти на горните интеграли (напр. Интегралът на Хенсток-Кърцвейл, обсъден например в тази предишна публикация), които могат да обработват малко по-различни класове функции и имат малко по-различни свойства от стандартните интеграли, изброени тук, но няма да е необходимо да обсъждаме такива алтернативни интеграли в този курс (с изключение на някои „неправилни“ и интеграли с „главна стойност“, които ще срещнем в по-късните бележки).
Горните три понятия за интеграция са тясно свързани помежду си. Например, ако
е интегрируема функция на Риман, тогава определеният интеграл със знак и определеният интеграл без знак съвпадат (когато първият е ориентиран правилно), по този начин
и
If
е непрекъсната, тогава според фундаменталната теорема на смятането, тя притежава първоизводна
, което е добре дефинирано до адитивна константа
, и
за всякакви
, така например
и
.
И трите горни интеграционни концепции имат аналози в комплексния анализ. Досега най-важното понятие ще бъде комплексният аналог на знаковия определен интеграл, а именно „контурният интеграл“
, в която насочената отсечка от едно реално число
на друг
сега е заменен от вид крива в комплексната равнина, известна като контур. Контурният интеграл може да се разглежда като специален случай на по-общия "линеен интеграл"
, което е от особено значение при комплексен анализ. Съществуват и аналози на интеграла на Лебег, а именно интегралите с мярка за дължина на дъгата
и интегралите на площта
, но те играят само спомагателна роля в темата. И накрая, все още имаме понятието антидериват
(известен също като примитивен) на сложна функция
.
Както се оказва, фундаменталната теорема на смятането продължава да е в сила в комплексната равнина: при подходящи предположения за редовност на комплексна функция
и примитивен
от тази функция, човек има
とりあえずここまで。
