Чудили ли сте се защо евклидовото разстояние е дефинирано така, както е? В края на краищата, не е веднага очевидно какво общо има квадратният корен от сбор от квадрати с разстоянието и големината.
Разстоянието между два n-измерни вектора x и y е просто големината на x - y, което е определени от формулата по-долу.
За да разберем защо величината е дефинирана по този начин, ще се върнем към основите: Питагоровата теорема.
Питагоровата теорема
Вероятно вече сте запознати с това, но нека си припомним бързо! Питагоровата теорема гласи, че в правоъгълните триъгълници дължината на квадрат на хипотенузата е равна на сумата от дължините на квадрат на другите страни.
За да представи това в алгебрична форма, той гласи, че a² + b² = c², когато c е хипотенузата на правоъгълния триъгълник и a и b са другите му две страни.
Ако приложим това към двуизмерен вектор x = (x₁, x₂), можем да видим, че Питагоровата теорема дава неговата величина!
Как можем да обобщим това в по-високи измерения?
Величина в по-високи измерения
За да видим какво се случва, ще използваме триизмерния случай. Тук можем да приложим Питагоровата теорема два пъти, за да получим величината!
Нека обозначим нашия вектор с x = (x₁, x₂, x3).
За да получим големината му, разглеждаме триъгълника, определен от (0, 0, 0), (x₁, 0, 0),и(x₁ , x₂, 0) първо. Дължината на хипотенузата a може да се изчисли по
Но това образува правоъгълен триъгълник с x!
Прилагането на Питагоровата теорема отново дава величината
Точно това се случва в общия n-измерен случай.
Надявам се, че това кратко обяснение ви е помогнало да разберете разстоянието и величината в по-високите измерения!
