Неквадратни матрици като трансформации между измерения — 3Blue1Brown
Неквадратни матрици
Досега знаем, че матрица 2 x 2 в xy-координатна равнина действа като линейна трансформация, коригирайки позицията на приземяване на базовите вектори i-hat и j-hat. Всяко число показва позицията на i-hat и j-hat.
Но как да интерпретираме матрици като матрицата 3 x 2? Как матрицата 3 x 2 трансформира системата?
Основният процес е същият. Просто трябва да преместим i-hat и j-hat до посочената точка за кацане.
Нека видим това чрез пример.
Когато видим матрица 3 x 2, тъй като двете колони показват, че входното пространство има два базисни вектора, първоначалното състояние ще бъде такова.
Сега местим i-hat и j-hat.
Ако видим резултата, системата се трансформира в 3d. Въпреки че системата е 3d, пространството на колоната е 2d и е с пълен ранг след трансформацията, тъй като входното измерение (2 колони) и измерението на пространството на колоната (2d равнина) са еднакви.
В резултат на това матрицата 3 x 2 преобразува 2d пространство в 3d пространство, но това е пълен ранг.
Да видим друг пример. Този път е 1 x n матрица. Това означава, че картографираме n-мерното пространство в линия (има n базисни вектора, но пространството на колоните на изхода е 1d).
Така че, ако направим тази трансформация към определен вектор, пространството на колоната ще има ранг 1.
