нещата във криволичещи скоби :)
внимание!
В тази статия пиша за приложенията на множествата в математиката. Има малко предистория, необходима за разбиране на съдържанието на тази статия, включително разбиране на пропозиционалната логика. Планирам да пиша статии за повече теми в дискретната математика, така че ще актуализирам тази страница с други статии, които пиша, които могат да помогнат за предоставянето на повече контекст и разбиране.
С това казано, нека преминем към останалата част от статията ❤
Къдравите скоби {}
Започнах да уча преди изчисление и да ходя на първия си час по програмиране приблизително по същото време в гимназията. В моя час по математика, вместо да използваме x за обозначаване на умножение, например 9 x 9, сега бяхме преминали към по-добри математически практики и използвахме хубавите кръгли скоби, за да посочим умножението, така че вместо (9)(9). В моя клас по програмиране на Python използвахме квадратни скоби като [], за да обозначим списъци. След това в университета, когато взех въведение в часа по дискретна математика, открих красотата на фигурните скоби {}, иначе използвани за обозначаване на набори. Следващата седмица в моя клас по програмиране от 15 до 112 в CMU бях принуден да злоупотребявам със свойствата на наборите по всякакъв възможен начин за тази седмица домашна работа. Безопасно е да се каже, че бързо се научих да обичам красотата на комплектите и техните операции (сега те са любимият ми тип криволичещи/криволичещи линии).
И така, какво е комплект?
Наборът е структура от данни, която може да съхранява елементи (които се наричат елементи), а в математиката ние декларираме набор с помощта на {} и вмъкваме елементите вътре в тях.
Ето някои неща, които трябва да знаете
- Комплектите не са подредени, както се вижда по-долу и двата примера са валидни комплекти.
setOne = {1, 2, 3, 4}
setTwo = {4, 3, 2, 1}
2. Наборите нямат дубликати, setOne би бил валиден набор, а setTwoDuplicates би бил невалиден набор (в смисъл, че не бихме написали набор като {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}, но вместо това ще го превърне във версия без дубликати, така че {1, 2, 3, 4}.
setOne = {1, 2, 3, 4}
setTwoDuplicates = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}
Нещо важно, което трябва да се отнеме от точки 1 и 2 е, че множествата нямат множественост. Това означава, че:
#these sets equal each other!
{1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}
{1, 2, 3, 4} = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4}
Както можете да видите, въпреки реда и дубликатите, тези комплекти все още са равни един на друг. Това е така, защото наборите не се интересуват от реда и не вземат предвид дубликати, когато сравняват равенството.
3. ∈ е много важен символа. Това означава, че принадлежи към, така че това описва дали даден елемент е член на определено множество. Например, ако имаме набор, дефиниран по-долу:
fruits = {apple, orange, strawberry, blueberry, pineapple}
бихме могли да кажем ябълка∈плодове, което се чете като ябълка принадлежи към набора от плодове.
Можем също да заявим, че даден елемент не принадлежи към набор, например:
carrot∉fruits, което се чете като carrot не принадлежи към набора от плодове.
4.⊆ е символ, който означава съдържа (или нещо е подмножество)и се отнася за това дали проверяваме дали колекция от елементи принадлежи на набор.
Общият формат е: проверете дали колекция от елементи ⊆ (се съдържа като член)в набор.
{1, 3, 4}⊆{1, 2, 3, 4, 5} is true
Това, което се чете по-горе, е следното: проверете дали елементите 1, 3, 4 съществуват в множеството {1, 2, 3, 4, 5}.
Скобите за колекциите имат голямо значение. Например, следните не проверяват за едни и същи неща.
{1, 3, 4}⊆{1, 2, 3, 4, 5}
{{1, 3, 4}}⊆{1, 2, 3, 4, 5}
{1, 3, 4}⊆{1, 2, 3, 4, 5} проверява дали елементите 1, 3, 4 са членове на множеството {1, 2, 3, 4, 5} (което е вярно) .
ВЪПРЕКИ ТОВА
{{1, 3, 4}}⊆{1, 2, 3, 4, 5} проверява дали {1, 3, 4} е член на множеството {1, 2, 3, 4, 5} (което е НЕВЯРНО!).
Това би било вярно, ако {1, 2, 3, 4, 5} беше вместо {1, 2, 3, 4, 5, {1, 3, 4}}.
TLDR бъдете внимателни, когато проверявате ограничаването.
Харесва ми да мисля за проверка на съдържанието, като премахнем външните скоби на колекцията, която проверяваме, за да видим, че се съдържа, и след това потърсим дали конкретният елемент/и се съдържат в набора.
5. {} или Ø се нарича празно множество, което означава, че няма елементи в множеството.
Празното множество е подмножество на всяко друго множество, но това не означава, че празното множество принадлежи на всяко множество.
Понякога тази концепция може да бъде малко объркваща, за да се замислите, но не е толкова сложна, колкото може да я представите.
Спомнете си, че празен набор изглежда така {}
Вътре в него НЯМА елементи.
Сега си припомнете, че подмножество е, когато колекция от елементи съществува в списък. Една колекция НЕ е подмножество, ако елемент в нея не се съдържа в списъка, който виждаме, ако е подмножество.
Нека дефинираме набор A като {1, 2, 3, 4}
Искаме да покажем, че празното множество не е подмножество на множество A. С други думи, искаме да докажем, че има елемент в празното множество, който НЕ принадлежи на множество A.
Празното множество → {} обаче няма елементи, което означава, че в празното множество няма нищо, което да не принадлежи на множество A.
По този начин празното множество е подмножество на ВСЕКИ НАБОР.
6.Универсален комплект
Uпредставлява универсалния набор, който е просто набор, който съдържа всички набори, за които искате да говорите в контекста на проблем.
Така че можем да кажем, че универсалното множество съдържа всичко, всяко отделно множество е подмножество на универсалното множество.
Задайте операции
Когато разглеждаме набори, можем също така да извършваме операции между множество набори (в моите примери просто ще сравня между два набора).
съюз
Обединението се обозначава със символа ∪ (U за обединение!).
Официалната дефиниция на съюз е:
A ∪ B = {x∈u|(x∈A)∨(x∈B)}
Това се чете като стойностите x, които принадлежат на универсалния набор, така че x принадлежи на набор A ИЛИx принадлежи на набор B.
Казано по-просто, обединението съдържа набор от всички елементи, които принадлежат и на двата набора (запомнете, че няма дубликати!).
Можем да демонстрираме как изглежда това със защрихована диаграма на Вен:
Пример за обединение на две групи би бил:
A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Обединението на двата набора включва всички уникални стойности от двата набора, независимо дали се появяват само в единия набор или и в двата.
Пресечна точка
Пресечната точка се обозначава със символа ∩.
Официалната дефиниция на кръстовище е:
A ∩ B = {x∈u|(x∈A)∧(x∈B)}
Това се чете като стойностите x, които принадлежат на универсалния набор, така че x принадлежи на набор A И x принадлежи на набор B.
Казано по-просто, едно пресичане съдържа набор от елементи, които принадлежат както на набор A И набор B.
Можем да демонстрираме как изглежда това със защрихована диаграма на Вен:
Пример за пресичане на две групи би бил:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 3, 4}
A ∩ B = {1, 3}
Както можете да видите, обединението на двете множества включва всички елементи, които съществуват и в двете групи A И групи B.
Разлика
Определена разлика се обозначава със символа \.
Официалната дефиниция на съюза е:
A \ B = {x∈u|(x∈A)∧(x∉B)}
Това се чете като стойностите x, които принадлежат на универсалния набор, така че x принадлежи на набор AИ x не принадлежи на набор B.
Можем да демонстрираме как изглежда това със защрихована диаграма на Вен:
Пример за разлика между два комплекта би бил:
A = {1, 2, 3, 5, 6}
B = {1, 3, 4}
A \ B = {5, 6}
В разликата на множеството A \ B можем да видим, че нашият списък съдържа само 5 и 6, тъй като това са елементите, които не принадлежат на множество B, но те принадлежат на множество A.
Допълнение
Допълнението на набор се обозначава с горен индекс c, така че ако имаме набор A, допълнението ще бъде A^c (или A’).
Формалната дефиниция на допълнението към набор е:
A^c = {x∈u|x∉A}
or
¬(x∈A)
Това се чете като стойностите x, които принадлежат на универсалния набор, така че x не принадлежи на набор A.
По същество допълнението към набор е всеки съществуващ елемент, който в момента не принадлежи към набора.
Можем да демонстрираме как изглежда това със защрихована диаграма:
Декартов продукт
Ако сме задали и задали B, декартовият продукт между двата набора е показан със символа X, така че A X B.
Формалната дефиниция е:
A X B = {(a, b)∈ UXU | (a∈A)∧(b∈B)}
Чете се като подредената двойка (a, b) принадлежи на декартовото произведение на универсалното множество, така че a принадлежи на множество A и b принадлежи на множество B.
Можем да демонстрираме как изглежда декартово произведение, като покажем резултата от R X R. Както можете да видите, тази операция ще ни даде двойка координати на графика. Така че, когато вземем декартовото произведение, по същество намираме всички координати, които съдържат както „a“, така и „b“ членове от две съответни групи.
Така че, когато вземете декартовия продукт на нещо, вие се опитвате да намерите всички възможни подредени двойки между две групи.
Ще нарисувам пример за това, за да кодирам с цвят разпределенията, което ще ви позволи да вземете декартовия продукт и да намерите всички възможни подредени двойки.
Харесва ми да мисля за този процес нещо като разпределяне на полиноми.
Кардиналност: декартови произведения
Когато намираме декартовото произведение на наборите, можем също да се фокусираме върху размера на тези резултати.
Ако имаме дефинирани две произволни множества, множество A и множество B, когато намираме размера или кардиналността на множество или декартов продукт, ние означаваме това с помощта на тези ленти → | |
например кардиналността на набор A е показана като |A|.
Мощността на декартовото произведение на A X B е показана като|A X B|.
Разглеждайки всяко множество поотделно, знаем, че кардиналността на множество A ще бъде колко n елемента принадлежат към множеството. Същото важи и за множество B, гледаме колко m елемента принадлежат на множеството.
Сега можем да кажем, че |A X B| има мощност от n пъти m.
Както се вижда по-горе, множество A има 3 члена, а множество B има 2 члена. Както A X B, така и B X A имат общо 6 подредени двойки в декартовия продукт.
Power Set
Ако имаме произволно множество A, степенното множество на множество се означава с P(set), така че P(A).
Официалната дефиниция би била следната:
P(A) = {x | x⊆A}
Това се чете като P(A) е x, така че x е подмножество на множество A.
По същество наборът от мощности съдържа всички възможни подмножества на даден набор.
Не забравяйте, че празното множество е подмножество на ВСЯКО дадено множество.
Ето пример за мощност:
нека A = {a, b, c}
P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b,c},
{a, c}, {a, b, c}}
Не забравяйте, че комплектите не се интересуват от ред или дубликати!
Кардиналност: Набори мощност
Точно както декартовото произведение може да има кардиналност, така може и степенният набор на набор.
Обаче намирането на кардиналността на набор от мощности, който е голям, ще отнеме МНОГО дълго време, така че можем да използваме трик.
За да намерим кардиналността на набор от мощности, можем да използваме формулата:
P(A) = 2^n
Спомнете си, че n представлява броя на елементите в дефинирания набор.
Ако използваме тази формула, за да проверим кардиналността на мощностния набор, който намерихме по-рано, можем да видим, че:
P(A) = 2³ = 8
Има 8 елемента по-горе в комплекта мощност.
Нека опитаме с други примери.
Предполага се, че A, B, C са множества.
|A| = 2, |B| = 4, |C| = 6
Ако вземем степенния набор от B, мощността ще бъде |P(B)| = 2^n и n = 4, така че |P(B)| = 2⁴.
Спомнете си, че кардиналността на декартово произведение се намира чрез умножаване на броя на елементите в набор A (n) по броя на елементите в набор B (m).
|AXC| = (2)(6) = 12
Сега какво ще стане, ако искаме да намерим степенния набор на A X C? Това би изглеждало така:
P(|AXC|) = P(12)
За да намерим кардиналността на набор от мощности от n броя елементи, ще използваме 2^n, така че това ще бъде:
P(|AXC|) = P(12) P(12) = 2^12
Така че степенният набор от |A X C| ще има кардиналност 2¹².
Освен това можем да вземем кардиналността на декартовото произведение на две степени, например |P(A) x P(B)|:
|P(A) x P(B)| = (2^2)(2^6) = 2^8
Първо намираме кардиналността на P(A) и P(B). За кардиналността на декартово произведение трябва да умножим количеството елементи във всеки набор от степени, за да получим окончателния си отговор.
Част 2 ~
Досега прегледахме основите на комплектите :) Има още някои компоненти, за които смятам да пиша, по-специално зададени самоличности и зададено ограничаване. Когато пиша по тези теми, ще поставя връзка към статията(ите) по-долу. Останете на линия!
Бърза бележка✨
Здравейте, аз съм Ашли! Аз съм първокурсник (на 18 години!!) в университета Карнеги Мелън, изучавам компютърни науки и ОБИЧАМ да пиша за неща, които ме интересуват.
Моят имейл е [email protected]. Току-що го проверих наскоро и се върнах към много съобщения. Ако имате въпроси за нещо, ще се опитам да им отговоря. Оценявам всички положителни съобщения, които ми бяха изпратени и сега определено ще бъда по-активен чрез имейл. Обичам да говоря с хората и също така оценявам отзивите и предложенията какво да пиша.
Също така планирам да прикача линка към моя бюлетин към статиите си към края на януари. Знам, че е малко изперкало да имаш такъв, но ми харесва да размишлявам върху живота си, да водя малък дневник за себе си и да споделям актуализации с другите.
Ще се видим скоро :)
Ашли ❤
Ако ви е харесала тази статия, може да ви хареса:
