Безопасен ли е потокът за получаване/задаване на низ?

Не, това не е безопасно за нишки. Foo е променлив, така че ако искате да сте сигурни, че различните нишки виждат една и съща стойност на bar – тоест последователност – или:

• Направете bar volatile или
• Направете методите synchronized или
• Използвайте AtomicReference<String>.

Четенията и записите на bar сами по себе си са атомарни, но атомарността не е безопасност на нишката.

http://docs.oracle.com/javase/tutorial/essential/concurrency/atomic.html

За задълбочено покритие на Java concurrency вземете копие на Java Паралелност на практика (известен още като JCIP).

Вие задавате препратки и като такава неизменността на String не влиза в действие. Вие не засягате съдържанието на String.

Не, не е безопасно.

Това е променливо поведение на Foo; Неизменността на низа не се натрупва към Foo.

public class Foo{
    private String bar;

    public synchronized String getBar(){
        return bar;
    }

    public synchronized void setBar(String bar){
        this.bar = bar;
    }
}

Не, не е безопасно за нишки.

Докато String е неизменно, проблемът идва от полето на Foo. За да направите това по-очевидно, разгледайте например метод, чиято задача би била да добавя (вместо да заменя) стойността на bar. Когато се извиква от множество нишки, някои записи могат да бъдат загубени. Същото (загубени записи) може да се случи и с вашия прост сетер, дори ако първоначално не е очевидно в този случай.