1. Какво ИСКАМ да направя:
(i) Използвайте вход n, за да генерирате n*n декартова мрежа
[x y] = meshgrid(linspace(-1,1,n));
(ii) Генериране на полярни координати
[theta r] = cart2pol(x,y);
(iii) Оценява функция в цилиндрични координати
z = f(theta,r);
(iv) Начертайте резултата, като използвате (да кажем) pcolor (или сърфиране, или нещо друго)
pcolor(x,y,abs(z).^2) %The function is complex, a Laguerre-Gauss to be exact.
2. Какво МОГА да направя... Единственият начин да накарам диаграмите да работят е като започна с моите полярни параметри и оттам се върна към декартово:
(i) Дефиниране на параметри
r=linspace(0,1,n); theta=linspace(0,2*pi,n);
(ii) Създайте и двете мрежи и оценете f
[theta r]=meshgrid(theta,r);
[x y]=pol2cart(theta,r);
z=f(theta,r);
(iii) Парцел
pcolor(x,y,abs(z).^2)
ПРОБЛЕМЪТ е, че сега моята решетка е кръгла и бих искал да оценя функцията навсякъде ВЪРХУ ПРАВОЪГЪЛНА решетка (защото моят анализ зависи от наличието на квадратни пикселни масиви). Повтарянето, използвайки метод 2 по-горе, получавам кръгова графика, описана в квадрат; представете си черен кръг с бяло по краищата... но ИСКАМ да оценя функцията в тази "бяла" област. ОБАЧЕ използването на метод 1 НЕ работи -- цялата функция е объркана, когато чертая (Просто потърсете в Google Laguerre-Gauss modes, за да видите как трябва да изглеждат графиките).
Искам да мога да започна с правоъгълна мрежа и да присвоя на всяка точка полярна координата, вместо да започна с полярни координати и да им присвоя всички декартови точки.
Бъркам се с това на разстояние от дълго време и не мога да разбера как да заобиколя този на пръв поглед прост проблем.
Редактиране 1
Изглежда, че проблемът е в начина, по който се генерират координатните матрици. По-долу съм публикувал екранни снимки на прост пример 3 на 3, илюстриращ как подход 1 и подход 2 генерират различни числа.
Как да направим тези номера съвместими?
Нямам точки за репутация, така че не мога да кача изображенията директно... връзките по-долу показват примера 3 на 3... вижте коментарите за връзки към действителни изображения на графиките на Лагер-Гаус, които се опитвам да направя...
приложи cart2pol
приложи pol2cart
Редактиране 2
В момента резултатът от подхода (1.) дава грешни резултати, както е показано тук:
Вторият подход дава правилните изображения, за съжаление това е само кръг, а не целият квадрат. Показано е тук:
приложен подход, ограничен резултат
3D диаграми и на двата подхода са показани тук - само цветната част на горната фигура е вярно.
Редактиране 3
Ето екранна снимка на функцията f, която се използва по-горе. Обърнете внимание, че изисква повече входни параметри, отколкото само r,theta. Типичните стойности са:
w0 = 0.5;
p = 0;
l = 5;
Функцията C дава нормализация, а L са полиноми на Лагер. И двете функции са щателно тествани и дават очакваните резултати.
Редактиране 4
Ето достатъчно код, за да стартирам изрично моя пример z=U(0,5,r,phi,w0)+U(0,-5,r,phi,w0);. Самият сюжет е даден от pcolor(x,y,abs(z).^2).
Имайте предвид, че функцията Lpl() е вмъкната като коментар. Това ще трябва да бъде запазено като собствен m-файл, за да може функцията U да работи правилно.
%% Laguerre-Gauss Modes U = U(p,l,r,phi,w0)
% Source: OAM theory paper section 2.A eqn 1.
% Assuming POLAR coordinates and evaluating AT beam waist.
% -- That is, z=0 for w(z)=w0(sqrt(1+z/zR))
% ---- ie, w(0) = w0
% Assuming z=0 also renders the Gouy phase arctan(z/zR) irrelevant.
% Note: Rayleigh Range zR is not explicitly defined because z=0 --> it is irrelevant too.
% Since zR is the only wavelength dependent term, wavelength also doesn't
% matter.
function out = U(p,l,r,phi,w0)
%Function handles for clarity
e = @(x) exp(x);
C = @(p,l) sqrt((2*factorial(p))/(pi*factorial(p+abs(l))));
L = @(p,l,z) Lpl(p,l,z);
%% Lpl() FUNCTION
% function out = Lpl(p,l,z)
%
% l=abs(l);
% LL=0;
% for mm=1:p+1
% m=mm-1;
% L=LL;
% LL= L+((-1)^m)*(factorial(p+l)/(factorial(p-m)*factorial(l+m)*factorial(m)))*(z.^m);
% end
% out = LL;
%%
out = (C(p,l)/w0)*...
(((sqrt(2).*r)/w0)^abs(l))*...
(e((-r.^2)/w0^2))*...
(L(p,l,((2.*r.^2)/w0^2)))*...
(e((-1)*1i*l.*phi)); ``
