Нов съм с Freefem++, проблемът, който се опитвам да реша, е уравнението на Фишер:
du/dt = d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 + k * u * (1-u)
du/dn = 0 - border condition
Опитах се да преформулирам проблема в слаба форма, но Freefem показва грешка с формулата:
problem Fisher(uh, vh) = int2d(Th)(uh * vh/dt + Grad(uh)' * Grad(vh) ) - int2d(Th)(k * uh * vh) + int2d(Th)(uh0 * vh/dt) - int2d(Th)(k * uh * vh * uh);
Бихте ли казали какво правя грешно? Нещо не е наред с последните условия.
Най-лесният начин за моделиране на уравненията на Фишър е да се линеаризира нелинейната част, така че изчислителният метод да остане стабилен. В нашия случай това означава, че в дискретни формулировки заменяме термина u_i(1 - u_i) с u_{i-1}(1 - u_i) (където i е брояч на време) и избираме внимателно стъпките за пространство и време. Тук предоставям пример за получен код:
verbosity=0.;
real Dx=.1,Dy=.1;
mesh Th=square(floor(10./Dx),floor(10./Dy), [-5 + 10*x, -5 + 10*y]);
fespace Vh(Th,P1);
Vh uh, vh, uh0 = ((x)^2+(y)^2)<=1;
real mu = 0.1, dt=0.01, Tf=10., k = 3.0;
macro Grad(u)[dx(u),dy(u)]//
problem KFisher(uh,vh) = int2d(Th)(uh*vh/dt + Grad(uh)'*Grad(vh)*mu) - int2d(Th)(uh0*vh/dt) + int2d(Th)(k*uh0*uh*vh) - int2d(Th)(k*vh*uh0);
for (real t=0.;t<Tf;t+=dt)
{
KFisher;
uh0 = uh;
plot(uh0, cmm="t="+t+"[sec]", dim=2, fill=true, value=true, wait=0);
}
Това е 2D преходно уравнение на дифузия/проводимост със зависим от температурата, нелинеен генериращ член.
Ако оставите термина за нелинейно генериране, уравненията трябва да изглеждат точно като слабата форма за 2D преходното уравнение на дифузия/проводимост.
Как freefem++ линеаризира този нелинеен термин? Как смяташе да се справиш?
Вие осъзнавате, разбира се, че последният член прави решението много различно животно. Трябва да използвате итерация в рамките на времеви стъпки, за да го решите (напр. решаване на Нютон-Рафсън).
Алгоритъмът става итеративен, нелинеен. Повече няма да решавате вместо вас; ще решите за увеличение du и ще повторите до конвергенция.
Вие линеаризирате последния член по следния начин:
d(k*u(1-u)) = k*du(1-u) - k*u*du = k*(1-2*u)*du ~ k*du
Все още имате продукт u*du, който е нелинеен. Какво да правя? Хвърли го.
Сега решавате нелинейно преходно уравнение за du.
