Как да извършим декартова трансформация

Афинната трансформация се определя от 3×1 транслационен вектор B и 3×3 ротационна матрица E. Сега искате да вземете локална точка P=(i_P,j_P,k_P) и да я трансформирате в глобална точка P'=(x_P,y_P,z_P). Това се прави от

    P' = B + E * P

1. Преводът е прост, B=(B_x, B_y, B_z)

2. Матрицата на въртене се дефинира като глобалните координати на единичните вектори i, j и k като трите колони на матрицата.

       | i_x  j_x  k_x |
   E = | i_y  j_y  k_y |
       | i_z  j_z  k_z |
   

За да намерите тези компоненти, използвайте координатите на точки B=(B_x, B_y, B_z), C=(C_x, C_y, C_z) и E=(E_x, E_y, E_z)

1. Вземете разликата между C и B и я направете единичен вектор за i. Намерете разстоянието между тях като

   d_BC = sqrt( (B_x-C_x)^2 + (B_y-C_x)^2 + (B_z-C_z)^2 );
   

   и компонентите са:

   i_x = (C_x-B_x)/d_BC;
   i_y = (C_y-B_y)/d_BC;
   i_z = (C_z-B_z)/d_BC;
   

2. Вземете разликата между E и B и я направете единичен вектор за j. Намерете разстоянието между тях като

   d_BE = sqrt( (B_x-E_x)^2 + (B_y-E_x)^2 + (B_z-E_z)^2 );
   

   и компонентите са:

   j_x = (E_x-B_x)/d_BE;
   j_y = (E_y-B_y)/d_BE;
   j_z = (E_z-B_z)/d_BE;
   

3. Компонентите на k се намират с помощта на векторно кръстосано произведение k = i × j

   k_x = i_y*j_z - i_z*j_y;
   k_y = i_z*j_x - i_x*j_z;
   k_z = i_x*j_y - i*y*j_x;
   

Пълната трансформация е сега

x_P = B_x + i_x*i_P + j_x*j_P + k_x*k_P;
y_P = B_y + i_y*i_P + j_y*j_P + k_y*k_P;
z_P = B_z + i_z*i_P + j_z*j_P + k_z*k_P;

Редактиране 1

Обратната трансформация е

    P = E'*(P'-B)

където E' е транспонирането на матрицата 3×3 E. В съставна форма това е

i_P = i_x*(x_P-B_x) + i_y*(y_P-B_y) + i_z*(z_P-B_z);
j_P = j_x*(x_P-B_x) + j_y*(y_P-B_y) + j_z*(z_P-B_z);
k_P = k_x*(x_P-B_x) + k_y*(y_P-B_y) + k_z*(z_P-B_z);